Монохроматична плоска хвиля

Одновимірна плоска хвиля

Монохромати́чна плоска́ хви́ля описується рівнянням

$u = u_0\cos(\mathbf{k}\mathbf{r} - \omega t - \varphi)$

де u — залежна від просторових координат $\mathbf{r}$ і часу t змінна, $u_0$ — амплітуда хвилі, $\mathbf(k)$ — хвильовий вектор, ω — циклічна частота, $\varphi$ — фаза.

Хвильовий вектор визчає напрям розповсюдження хвилі у просторі. Його абсолютна величина зв'язана з довжиною хвилі λ співвідношенням

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Кожна точка простору здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою ω.

Хвиля називається монохроматичною тому, що коливання відбуваються з строго визначеною частотою. У випадку світла ця частота визначала б колір. Назва «плоска» пов'язана із формою фронту хвилі, який для даного типу хвилі є площиною, перпендикулярною до хвильового вектора.

Поперечні й повздовжні хвилі

У випадку, коли збурення, яке розповсюджується у вигляді хвилі, описується векторною величиною, монохроматична хвиля має вигляд:

$\mathbf{u} = \mathbf{u}_0\cos(\mathbf{k}\mathbf{r} - \omega t - \varphi)$.

В залежності від взаємної орієнтації амплітуди $\mathbf{u}_0$ монохроматичні плоскі хвилі поділяються на поперечні та повздовжні.

Монохроматична плоска хвиля називається поперечною, якщо амплітуда збурення, тобто напрямок коливань, перпендикулярна до напрямку розповсюдження:

$\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{k} = 0$

Оскільки в площині, перпендикулярній до напрямку розповсюдження, є два можливих взаємноперпендикулярних напрямки, то існують дві незалежні одна від іншої поперечні хвилі, які розповсюджуються в одному напрямку. Вони можуть розрізнятися за фазами.

Якщо вектор $\mathbf{u}_0$ паралельний вектору $\mathbf{k}$, який задає напрямок розповсюдження, то монохроматична плоска хвиля називається повздовжною.

Електромагнітні хвилі у вакуумі можуть бути лише поперечними. Звукові або акустичні хвилі можуть бути як поперечними так і повздовжними.

Комплексна форма запису

Використовуючи комплексні числа, монохроматичну плоску хвилю можна записати у вигляді

$\mathbf{u} = \mathbf{u}_0 e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t}$.

Комплексна ампітуда $\mathbf{u}_0$ при такій формі запису містить інформацію про фазу хвилі.

При описі хвиль у класичній фізиці комплексна форма запису - зручний математичний прийом, який дозволяє просто проводити облислення. Фактичний результат береться як дійсна частина комплексної функції. Однак, у квантовій механіці хвильова функція зарядженої частинки суттєво комплексна. Комплексність хвильової функції пов'язана із законом збереження заряду.

Фазова швидкість

Частота ω й модуль хвильового вектора k не є незалежними величинами. Залежність $k(\omega)$ називається законом дисперсії. Цей закон визначається природою хвилі та фізичними характеристиками середовища, в якому вона розповсюджується.

Відношення

$v_{ph} = \frac{\omega}{k},$

називається фазовою швидкістю монохроматичної хвилі.

Для багатьох хвиль закон дисперсії лінійний і фазова швидкість не залежить від частоти. Прикладами таких хвиль є електромагнітні хвилі (світло) у вакуумі, для яких фазова швидкість збігається зі швидкістю світла. Фазова швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в середовищі залежить від показника заломлення й може бути як меншою за швидкість світла, так і більшою за неї.

Швидкість розповсюдження звуку в пружньому середовищі теж можна вважати сталою у широкому діапазоні частот.

Окрім фазової швидкості розрізняють також групову швидкість, як швидкість розповсюдження пакету монохроматичних хвиль, за допомогою якого може передаватися інформація.