Мультиплікативна функція

У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція $f(m)$, така що

$f(m_1 m_2) = f(m_1) f(m_2)$ для будь-яких взаємно простих чисел $m_1$ і $m_2$

$f(1)=1$

При виконанні першої умови, вимога $f(1)=1$ рівносильно тому, що функція $f(m)$ не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію $f$, визначену на деякій множині $X$, таку що

$f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2)$ для довільних $x_1, x_2 \in X$.

У теорії чисел такі функції, тобто функції $f(m)$, для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних $m_1, m_2$, називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

$f(p^\alpha) = f(p)$

для всіх простих $p$ і всіх натуральних $\alpha$.

Приклади

• Функція $\tau(m)$ — число натуральних дільників натурального $m$.
• Функція $\sigma(m)$ — сума натуральних дільників натурального $m$.
• Функція Ейлера $\varphi(m)$.
• Функція Мебіуса $\mu(m)$.
• Функція $\frac{\varphi(m)}{m}$ є сильно мультиплікативною.
• Степенева функція $\forall n\in\N, \operatorname{Id}_k(n) = n^k$ є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
  • константи $\forall n\in\N, 1(n) = 1$
  • тотожної функції $\forall n\in\N, \operatorname{Id}(n) = n$
• $n\mapsto\left(\frac{n}{p}\right)$ — символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості

Якщо $f(m)$ — мультиплікативна функція, то функція

$g(m) = \sum_{d|m} f(d)$

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція $g(m)$, визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція $f(m)$ також мультиплікативна.

Більш того, якщо $f(m)$ і $g(m)$ — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

$h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)$

Це випливає з того, що що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d₁.d₂, де d₁ — дільник числа n, d₂ — дільник числа m. ТОді з визначень можна записати

$(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d|nm}f(d)g\left(\frac{nm}{d}\right)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1d_2)g\left(\frac{n}{d_1} \cdot \frac{m}{d_2}\right)$.

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

$(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\frac{m}{d_2}\right)$,

$(f*g)(n.m)=\left[\sum_{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)\right] \cdot \left[\sum_{d_2|m}f(d_2)g\left(\frac{m}{d_2}\right)\right]$,

$(f*g)(n \cdot m)=(f*g)(n)\cdot(f*g)(m)$.

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

$\varepsilon(n) = \begin{cases}1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}$

Див. також

• Арифметична функція

Література

• К. Айерлэнд, М. Роузен (1987). Классическое введение в современную теорию чисел. Москва: Мир. с. 416. 
• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;