Мінор матриці

Мінором $\ k$-го порядку матриці $\ A$ називається визначник матриці, утворений елементами на перетині $\ k$ стовпців та $\ k$ рядків.

Визначення

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — матриця розміру $\ m \times n$, в якій вибрано довільні $\ k$ $(k\leqslant n, k \leqslant m)$

• рядків з номерами $\ i_1 < i_2 < \ldots < i_k$ та
• стовпців з номерами $\ j_1 < j_2 < \ldots < j_k.$

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку $\ k$.

Мінор

Визначник матриці, яка одержується з $\ A$ викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором $\ k$-го порядку, розташованим в рядках з номерами $\ i_1, i_2, \ldots, i_k$ та стовпцях з номерами $\ j_1, j_2, \ldots, j_k$.

$M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = \det \begin{pmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \ldots & a_{i_1 j_k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \ldots & a_{i_k j_k} \end{pmatrix}.$

Доповнювальний мінор

Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці $\ A,$ у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору $M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k}$

$\overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k} = \det \begin{pmatrix} a_{i_{k+1} j_{k+1}} & a_{i_{k+1} j_{k+2}} & \ldots & a_{i_{k+1} j_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_n j_{k+1}} & a_{i_n j_{k+2}} & \ldots & a_{i_n j_n} \end{pmatrix},$

де $\ i_{k+1} < \ldots < i_n$ та $\ j_{k+1} < \ldots < j_n$ — номери не вибраних рядків і стовпців.

Мінор елемента

Мінором $\ M_{ij}$ елемента $\ a_{ij}$ квадратної матриці $\ A$ порядку $\ n$ називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника $\ |A|$ n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $\ a_{ij}.$

Оточуючий мінор

Нехай $\ \Delta_k$ — деякий мінор порядку $\ k$ матриці $\ A$. Мінор порядку $\ k+1$ матриці називається оточуючим для мінора $\ \Delta_k$, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору $\ \Delta_k$. Таким чином, оточуючий мінор для мінора $\ \Delta_k$ можна одержати дописуючи нього один рядок і один стовпчик.

Базисний мінор

Базисним мінором ненульової матриці $A$ (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.

Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.

Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.

Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.

Теорема Лапласа

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $\ n \times n,$ в якій вибрано довільні $\ k$ рядків.

Тоді визначник матриці $\ A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $\ k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A = \sum_{j_1<\ldots<j_k}M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $\ j_1, \ldots, j_k.$

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $\textstyle {n \choose k}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $\ A$ на яких будується її базисний мінор $\ \Delta_r$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Приклади

• Розглянемо матрицю $A$ розміру $\ m \times n$:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \qquad M^{1,2}_{2,3} = \begin{array}{|cc|} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{array}$ — мінор 2-го порядку.

Таких мінорів можна скласти ${C_m^k} {C_n^k}$ штук.

• Мінор $\ M_{23}$ квадратної матриці $\ A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

$A = \begin{pmatrix} \,\,\,1 & 4 & 7 \, \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \, \\ -1 & 9 & \!11 \,\\ \end{pmatrix}, \qquad M_{23} = \begin{vmatrix} \,\,1 & 4 & \Box \, \\ \,\Box & \Box & \Box \, \\ -1 & 9 & \Box \, \\ \end{vmatrix}$ $\longrightarrow$ $\begin{vmatrix} \,\,\,1 & 4 \, \\ -1 & 9 \, \\ \end{vmatrix} = \left(9-\left(-4\right)\right) = 13.$

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник матриці
• Ранг матриці
• Формула Біне — Коші

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.