Мінімальний многочлен матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем Fмногочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем \mathbb{K} визначити множину:
 \mathit{I}_A = \{ g \in \mathbb{K}[t] \; | \; g(T) = O \}

то \mathit{I}_A буде ідеалом в кільці  \mathbb{K} многочленів над полем \mathbb{K}. Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).

  • Такі твердження є еквівалентними:
  1. \lambda \in \mathbb{K} є коренем многочлена p(x),
  2. λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
  3. λ є власним значенням матриці A.
  • Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
  • Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі \mathbb{K}, то многочлен p(x) у полі \mathbb{K} можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.

Обчислення[ред.ред. код]

Визначимо I A, v як:

 \mathit{I}_{A, v} = \{ p \in \mathbb{K}[t] \; | \; v \in \mbox{Ker} \; p(A) \} = \{ p \in \mathbb{K}[t] \; | \; p(A)(v) = 0 \}.

Дана множина є головним ідеалом. Нехай  \mu_{A,v} многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.

 \alpha_0 v + \alpha_1 A(v) + \ldots + \alpha_n A^d (v) + A^{d+1} (v) = 0
для деяких \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{K} і
 \mu_{A,v} (t) = \alpha_0  + \alpha_1 t + \ldots + \alpha_n t^d  + t^{d+1}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц, вид. друге (1967), 576 с., Москва: Наука.
  • Ланкастер П.. Теория матриц (1973), 282 с., Москва: Наука.
  • Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .