Міра Жордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і n-вимірного об'єму в n-вимірному евклідовому просторі.

Побудова[ред.ред. код]

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана ~m\Delta паралелепіпеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i] в \R^n визначається як добуток

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Для обмеженої множини E\subset\R^n визначаються:

  • зовнішня міра Жордана
    m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E
  • внутрішня міра Жордана
    m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m, якщо \ k\neq m,

де \Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина ~E називається вимірною за Жорданом, якщо ~m_eE=m_iE. В цьому випадку міра Жордана дорівнює ~mE=m_eE=m_iE.

Властивості[ред.ред. код]

  • Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
  • Обмежена множина E\subset\R^n вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли його границя має міру Жордана рівну нулю .
  • Зовнішня міра Жордана для ~E рівна зовнішній мірі Жордана для \bar E (замикання множини ~E) і рівна мірі Бореля \bar E.
  • Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно аддитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множини[ред.ред. код]

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини рівна 1, а внутрішня рівна нулю.

Література[ред.ред. код]

  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Див. також[ред.ред. код]