Міра Лебега

Міра Лебе́га на $\R^n$ — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Побудова міри на прямій

Зовнішня міра

Для довільної підмножини $\ E$ числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $\ E$. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини $\ E$, і називається зовнішньою мірою:

$m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

$m^*E=\varphi(E)=|E|^*.$

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри

• $E_1\subseteq E_2\Longrightarrow m^*E_1\leqslant m^*E_2.$
• $E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Longrightarrow m^*E\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*E_k.$
• $\forall E,\;\varepsilon>0\;\exists G\supseteq E\colon m^*G\leqslant m^*E+\varepsilon$, де $G$ — відкрита множина. Дійсно, достатньо в якості $G$ взяти суму інтервалів, що утворюють покриття $E$, таку що $\sum_i\Delta_i\leqslant m^*E+\varepsilon$. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міра

Якщо множина $\ E$ обмежена, то внутрішньою мірою множини $\ E$ називається різниця між довжиною сегмента $[a,\;b]$, що містить $\ E$ та зовнішньою мірою доповнення $\ E$ в $[a,\;b]$:

$m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).$

Для необмежених множин, $\ m_*E$ визначається як точна верхня грань $(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ по всіх відрізках $[a,\;b]$.

Вимірні множини

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри одинакові. Тоді їх спільне(одинакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається $mE,\;\mu E,\;|E|$ чи $\ \lambda(E)$.

Приклад невимірної множини

Розглянемо на прямій відрізок $[0,\;1]$. Якщо відстань між двома точками є раціональним числом, то віднесемо їх до одного класу еквівалентності. З кожного класу еквівалентності виберемо по одній точці. Отримана множина буде невимірною за Лебегом.

Дійсно, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: $E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n=[0,\;1]$.

Отже, в силу зліченної адитивності міри Лебега $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)$.

Якби у побудованої множини $\ E$ була міра, то вона мала б бути не меньше нуля.

Нехай $\ \mu(E)>0$, при цьому всі $\ \mu(E_n)$ — рівні один одному в силу інваріантності міри Лебега, тобто, в силу зліченної адитивності міри Лебега $\sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)>1$, що неможливо, так як $\mu([0,\;1])=\sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)=\mu(E)=1$.

Нехай $\ \mu(E)=0$, але це також неможливо, оксільки в такому випадку $\mu([0,\;1])=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=\mu(E)$, що протирічить визначенню міри Лебега, так як для відрізка $[0,\;1]$ ця міра равна $1$ в силу визнаачення міри Лебега.

Отже міри не існує.

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Дивись також

• Міра Жордана
• Міра Хаусдорфа