Міра Лебега

Міра Лебе́га на $\mathbb {R} ^{n}$ — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Побудова міри на прямій

Зовнішня міра

Для довільної підмножини $\ E$ числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $\ E$. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини $\ E$, і називається зовнішньою мірою:

$m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

$m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.$

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри

• $E_{1}\subseteq E_{2}\Longrightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
• $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Longrightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}.$
• $\forall E,\;\varepsilon >0\;\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$, де $G$ — відкрита множина. Дійсно, достатньо як $G$ взяти суму інтервалів, що утворюють покриття $E$, таку що $\sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міра

Якщо множина $\ E$ обмежена, то внутрішньою мірою множини $\ E$ називається різниця між довжиною сегмента $[a,\;b]$, що містить $\ E$ та зовнішньою мірою доповнення $\ E$ в $[a,\;b]$:

$m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E).$

Для необмежених множин, $\ m_{*}E$ визначається як точна верхня грань $(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E)$ по всіх відрізках $[a,\;b]$.

Вимірні множини

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається $mE,\;\mu E,\;|E|$ чи $\ \lambda (E)$.

Приклад невимірної множини

• Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузепе Віталі.

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Див. також

• Міра Жордана
• Міра Хаусдорфа

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)