Міра різноманітності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Міра різноманітності (також індекс різноманітності) — безрозмірний показник, що застосовується в біології для визначення ступеню рівномірності розподілу ознак об’єктів вибірки. Подвійним поняттям для різноманітності є поняття однорідності або концентрації. Міри різноманітності є унарними мірами близкості.
Міри різноманітності є сенс використовувати виключно для оцінки інвентаризаційної різноманітності, тобто різноманітності в середині об’єкту.
Здається, що першою мірою різноманітності, використаною в біології був індекс Шеннона, адаптований Робертом Макартуром для дослідження трофічних мереж [1]:

 H = -\sum_{i=1}^n p_i \log_2 p_i

,

де  p_i = {x_i \over \sum_{i=1}^{n} x_i} і відповідає числу ознак (наприклад, особин) певного обєкту (наприклад, виду) у виборці (наприклад, в біоценозі). Теоретично Н-функція набуває максимального значення тоді, коли має місце повна вирівненість розподілу  \log_2 N , що відповідає найбільшій різноманітності системи (N – загальне число обєктів (наприклад, видів в біоценозі)), а мінімальне дорівнює 0. Інколи, щоб позбутися від незвичної для біолога одиниці вимірювання "біт" здійснюють нормування індексу, наприклад так:  {H \over H_{max}} [2]. Є думка, що індекс Шеннона надає більшого значення рідкісним видам, ніж інші індекси[3]. Для прикладу для орнітофауни сосново-березових лісів південної тайги Уралу значення індексу Шеннона становить від 2,6 до 3[4]. Варто відзначити, що різні міри різноманітності були відомі и до праць К.Шеннона[5].

Параметричні родини мір різноманітності[ред.ред. код]

Перше узагальнення для мір різноманітності було запропоноване Альфредом Реньї[6]. Формула добре відома математикам як формула ентропії Реньї. Якщо альфа-індекс дорівнює 0 ми одержуємо  \log_2 N (відома як формула Хартлі); при значенні  \alpha \rightarrow 1 індекс ідентичний індексу Шеннона; при значенні  \alpha \rightarrow \infty одержуємо  \log_2 {1 \over p_{max} } , де у знаменнику індекс Бергера-Паркера, який визначається як максимум з усіх розглядуваних долей. Активно обговорювалося питання щодо того, яку основу логарифму краще застосовувати. Відомі приклади використання в біології логарифмів з основами 2, 10, e. Від проблеми вибору основи логарифму вільна формула Гілла.
На основі формули ентропії Реньї М. Гіллом був запропонований континуум мір вирівненності (evenness) у вигляді уніфікованої формули, визначеної як антилогарифм від ентропії Реньї[7].

R_\alpha = ( \sum_{i=1}^n p_i^\alpha )^{1 \over 1 - \alpha}; \alpha \geqslant 0.

Наведемо приклади для деяких випадків:  R_0 = N; R_1 = e^H ; R_2 = {1 \over \sum_{i=1}^n p_i} , де в знаменнику індекс Сімпсона. Пізніше, на основі даної формули була створена низка мір: міра Шелдона (Sheldon), міра Хейпа (Heip), міра Алатало (Alatalo), міра Молінарі (Molinari) та ін. Без прив’язки до параметричних родин використовуються такі міри:

  • індекс Глізона:  {N \over ln (p_i)} ;
  • індекс Маргалефа:  {N - 1 \over lg (p_i)} ;
  • індекс Менхиніка:  {N  \over \sqrt p_i} ;
  • індекс вирівненності Пілу (інколи Пієлу, або Пієлоу):  \frac {H}{\log N} = {H \over H_{max}} . Є по суті нормуванням індекса Шеннона між 0 та 1.

Існують і інші індекси різноманітності, які затосовуються біологами[8], до речі найпростішим показником різноманітності є видове багатство або число видів.

Міри однорідності (концентрації)[ред.ред. код]

Міри однорідності використовуються значно рідш. Тут можна відзначити родину мір концентрації ( Q_\alpha ) О.М. Колмогорова. Його міри коеквівалентні до мір родини Гілла як  R_\alpha = {1 \over Q_\alpha} .

Інформаційні міри різноманітності[ред.ред. код]

Дана група індексів рідко використовується з причини складності обчислення. Найвідомішим індексом цього типу є індекс Бріллюена[9]. Для біологічних досліджень вперше використаний Рамоном Маргалефом[10]:

 {1 \over N} \log_2 {N! \over n_1! ... n_S!}

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин[ред.ред. код]

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин були запропоновані Б.І. Сьомкіним в 1971 році[11], а також Р.Л. Акоффом і Ф.Е. Емері в 1972 році[12]. Наприклад, Б.І. Сьомкін запропонував абсолютну міру різноманітності, що грунтувалася на порівнянні досліджуваної вагової множини з еталоном, що має максимальну різноманітність:

 K_0(X,X_{max}) = m(X \cap X_{max}) ,

де X_{max} = \left \{ x_i, \mu (X_i) = {1 \over n}, i = 1, ..., n \right \} , X – вагова множина, різноманітність якої визначається; n – число таксонів. Також використовується нормована відносна міра різноманітності:

 R_S = { n \sum_{i=1}^n min (p_i,{1 \over n}) -1 \over n-1}

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. MacArthur R.H. Fluctuations of animal populations, and measure of community stability // Ecology. 1955. V. 36. № 7. P. 353-356.
  2. Hurlbert S.H. The nonconcept of species diversity: a critique and alternative parameters // Ecology. V. 52. №4. P. 577-586.
  3. Одум Ю. {{{Заголовок}}} Т. 2.
  4. Захаров В.Д. Анализ видового разнообразия птиц Ильменского заповедника (рус.) // Вестник Оренбургского государственного университета. — Оренбургский государственный университет, 2008. — В. 6. — С. 50-54.
  5. Yule G.U. The statistical study of literary vocabulary. – London: Cambridge Univ. Press, 1944. – 306 p.
  6. Rényi A. (1961) On measures of entropy and information // Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability. 1960. P. 547-561.
  7. Hill M.O. Diversity and evenness: A unifying notation and its consequence // Ecology. 1973. V. 54. №2. P. 427-432.
  8. Magurran A.E. Measuring biological diversity. – Oxford, UK.: Blackwell Publishing, 2004. – 256 p.
  9. Brillouin L. Science and information theory. - New York: Academic Press, 1956. - 320 p.
  10. Margalef R. Information theory in ecology // Gen. Syst. 1958. №3. P. 36-71.
  11. Сёмкин Б.И. О мере сходства между растительными сообществами // Тез. докл. совещ. по классиф. растит. Л.: Наука, 1971. С. 85.
  12. Акофф Р.А., Эмери Ф.Ф. О целеустремленных системах. – М.: Сов. радио, 1974. – 272 с.