Мішаний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мішаний добуток (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) векторів \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} — скалярний добуток вектора \mathbf{a} на векторний добуток векторів \mathbf{b} і \mathbf{c}:

(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right).

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).


Властивості[ред.ред. код]

  • Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
 (\ \mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c) = (\ \mathbf b, \ \mathbf c, \ \mathbf a) = (\ \mathbf c, \ \mathbf a, \ \mathbf b) =- (\ \mathbf b, \ \mathbf a, \ \mathbf c) =- (\ \mathbf c, \ \mathbf b, \ \mathbf a) =- (\ \mathbf a, \ \mathbf c, \ \mathbf b);
т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що
\ \lang \ \mathbf a, [\ \mathbf b, \ \mathbf c]\ \rang = \ \lang [\ \mathbf a, \ \mathbf b], \ \mathbf c\ \rang
  • Змішаний добуток  (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів  \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b} та \ \mathbf{c}:
 ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
  • Змішаний добуток (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів  \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b} та \ \mathbf{c}, взятому зі знаком «мінус»:
 ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
зокрема,
  • Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
  • Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
  • Геометричний сенс — мішаний добуток  (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами  \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b} та \ \mathbf{c}; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
  • Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними[1]:215.
Три вектора, що визначають паралелепіпед.
 (\ \mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c) = \ \sum_{i,j,k} \ \varepsilon_{ijk}a^ ib ^ jc ^k

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

Тлумачення[ред.ред. код]

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Гусятник П.Б., Резніченко С.В. Векторна алгебра в прикладах та завданнях. — М: Вища школа, 1985. — 232 с.