Мішаний добуток

Мішаний добуток $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})$ векторів $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ — скалярний добуток вектора $\mathbf{a}$ на векторний добуток векторів $\mathbf{b}$ і $\mathbf{c}$:

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)$.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).

Властивості

• Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:

$(\ \mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c) = (\ \mathbf b, \ \mathbf c, \ \mathbf a) = (\ \mathbf c, \ \mathbf a, \ \mathbf b) =- (\ \mathbf b, \ \mathbf a, \ \mathbf c) =- (\ \mathbf c, \ \mathbf b, \ \mathbf a) =- (\ \mathbf a, \ \mathbf c, \ \mathbf b);$

т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що

$\ \lang \ \mathbf a, [\ \mathbf b, \ \mathbf c]\ \rang = \ \lang [\ \mathbf a, \ \mathbf b], \ \mathbf c\ \rang$

• Змішаний добуток $(\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c})$ в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}$ та $\ \mathbf{c}$:

$( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.$

• Змішаний добуток$(\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c})$ в лівій декартовій системі координат (в ортонормированном базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}$ та $\ \mathbf{c}$, взятому зі знаком «мінус»:

$( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.$

зокрема,

• Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
• Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
• Геометричний сенс — мішаний добуток $(\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c})$ за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами $\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}$ та $\ \mathbf{c}$; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
• Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними^:215.

Три вектора, що визначають паралелепіпед.

• Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіта:

$(\ \mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c) = \ \sum_{i,j,k} \ \varepsilon_{ijk}a^ ib ^ jc ^k$

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

Тлумачення

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.