Наближення сильного зв'язку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Наближення сильного зв'язку - метод розв'язку рівняння Шредінгера для знаходження енергетичиних рівнів електронів у кристалічному твердому тілі в одноелектронному наближенні, в якому хвильова функція електрона будується як лінійна комбінація хвильових функцій атомів.

Гамільтоніан, що описує рух електрона в періодичному потенціалі в твердому тілі можна записати у вигляді

 \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + \sum_n V(\mathbf{r} - \mathbf{a}_n ),

де  \hbar - приведена стала Планка, m - маса електрона,  V(\mathbf{r} - \mathbf{a}_n ) - потенціальна енергія електрона, зумовлена взаємодією з n-тим атомом,  \mathbf{a}_n - радіус-вектор n-го вузла.

Якщо функція  \phi(\mathbf{r}) є власною функцією гамільтоніана

 \hat{H}_0 = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r} ) ,

із енергією  \mathcal{E}_0 , то в рамках методу сильного зв'язку хвильову функцію кристала шукають у вигляді

 \psi_{\mathbf{k}} = \sum_n \phi(\mathbf{r} - \mathbf{a}_n) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_n}  ,

який задовільняє умові теореми Блоха

Наближення сильного зв'язку застосовують тоді, коли інтегралом перекриття функцій  \phi , локалізованих на різних вузлах кристалічної ґратки можна знехтувати:

 \int \phi(\mathbf{r} - \mathbf{a}_n)\phi(\mathbf{r} - \mathbf{a}_n^{\prime}) dV \approx 0 при  n \neq n^\prime .

Тоді закон дисперсії для електронних рівнів запишеться у вигляді

 \mathcal{E}(\mathbf{k}) = \mathcal{E}_0 + \sum_{n \neq n^\prime} w_{nn^\prime} e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{a}_n} ,

де

 w_{nn^\prime} =  \int \phi^*(\mathbf{r}-\mathbf{a}_n) V(\mathbf{r}-\mathbf{a}_{n^\prime}) \phi(\mathbf{r} -\mathbf{a}_{n^\prime}) dV .

Аналогічну процедуру можна провести з будь-якою атомною орбіталлю. Як наслідок атомний енергетичний рівень  \mathcal{E}_0 розщеплюється при взаємодії електрона з іншими атомами кристала у вузьку зону.

Наближення найближчих сусідів[ред.ред. код]

Атомні орбіталі  \phi швидко спадають із віддаллю, тож величини  w_{nn^\prime} , які визначають ймовірність перестрибування електрона з одного вузла кристалічної ґратки на інший, можна вважати відмінними від нуля тільки для найближчих вузлів.

Наприклад, для простої кубічної ґратки з періодом a закон дисперсії електронних станів запишеться у вигляді

\mathcal{E}(\mathbf{k}) = \mathcal{E}_0 + 2w(\cos k_x a + \cos k_y a + \cos k_z a  ) .

Величина 2w визначає ширину зони.

Застосування[ред.ред. код]

Наближення сильного зв'язку широко використовується в квантовій теорії твердого тіла, а також у квантовій хімії, де аналогічний метод часто називають методом Гюкеля.

Дивіться також[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.