Найбільший та найменший елемент

В математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

найбільшим елементом називається такий елемент $g \in P,$ для якого справедливо:

$\forall x \in P: x \le g.$

найменшим елементом називається такий елемент $l \in P,$ для якого справедливо:

$\forall x \in P: l \le x.$

Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині.

Теорема

В кожній частково упорядкованій множині існує не більше одного найменшого (а в силу принципу подвійності, і найбільшого) елементу.

Доведення

Припустимо, що x і y – два найменші елементи в множині A , тоді :$x \le y$ в силу того, що x – найменший елемент і :$y \le x$ в силу того, що y – найменший елемент. Але тоді із антисиметричності відношення $\le$ випливає, що x=y .

Дивись також

• Максимальні та мінімальні елементи
• Верхня та нижня межа

Джерела

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9.