Найбільший та найменший елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

найбільшим елементом називається такий елемент g \in P, для якого справедливо:

\forall x \in P: x \le g.

найменшим елементом називається такий елемент l \in P, для якого справедливо:

\forall x \in P: l \le x.

Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині.

Теорема[ред.ред. код]

В кожній частково упорядкованій множині існує не більше одного найменшого (а в силу принципу подвійності, і найбільшого) елементу.

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо, що x і y – два найменші елементи в множині A , тоді : x \le y в силу того, що x – найменший елемент і : y \le x в силу того, що y – найменший елемент. Але тоді із антисиметричності відношення  \le випливає, що x=y .

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]