Напівкубічна парабола

Напівкубічна парабола для різних значнь a.

Напівкубічна парабола, або парабола Нейла — плоска алгебраїчна крива, що описується рівнянням

$y^2=ax^3$

в прямокутній системі координат. Параметричне рівняння напівкубічної параболи:

$x=t^2,\ y=at^3$

Властивості

• Окремим випадком напівкубічної параболи є еволюта параболи:

$x = {3 \over 4}(2y)^{2 \over 3} + {1 \over 2}.$

• Напівкубічна парабола є каустикою кривої Чирнгаузена. Більше того, будь-яка каустика вигляду ластівчин хвіт поблизу вершини добре наближається навікубічною параболою, що робить цю криву еталонною в теорії катастроф.
• Радіус кривини навікубічної параболи в початку координат дорівнює нулю.

Історія

Названа по імені Нейла, який знайшов в 1657 р. довжину її дуги. Це була перша крива, довжину дуги якої вдалось порахувати. Також вдалось помітити особливість — тіло, що рухається вниз по напівкубічній кривій під дією сили тяжіння проходить одинакові відстані у вертикальному напрямі за одинакові проміжки часу.

Джерела

Weisstein, Eric W. "Semicubical Parabola." із сайту MathWorld--A Wolfram Web Resource.