Невласний інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Невластивий інтеграл)
Перейти до: навігація, пошук

Невла́сний інтегра́л є розширенням поняття інтеграла Рімана. В інтегралі Рімана розглядаються

Невласний інтеграл I (першого) роду розглядається на нескінченному проміжку інтегрування (і обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по скінченних проміжках, які «розширюються»), а невласний інтеграл II (другого) роду — це інтеграл з необмеженою підінтегровною функцією (обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по інтервалах, які наближаються до особливої точки підінтегральної функції, де ця функція прямує до нескінченності).

Подальшим узагальненням інтеграла Рімана є поняття головного значення інтеграла за Коші.

Невласний інтеграл першого роду («нескінченний інтервал»)[ред.ред. код]

Означення[ред.ред. код]

Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції

Нехай aR. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:

  1. (a, +∞);
  2. (−∞, a);
  3. (-∞, +∞).

Означення для інтервалу (a, +∞)[ред.ред. код]

Означення. Нехай функція f : (a, +∞) → R така, що ∀ A > a : fR([a, A]), тобто є скінченним інтеграл Рімана
  \int_{a}^{A} f(x)\, dx =: F(A).

Якщо існує скінченна границя послідовності інтегралів F(A), коли A → +∞, то

  • значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (a, +∞) і позначають символом \int_{a}^{+\infty} f(x)\, dx;
  • невласний інтеграл  \int_a^{+\infty} f(x)\, dx називають збіжним.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя F(A) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞, a).

Приклад. Розглянемо інтеграл
 \int_{-1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx.

Для довільного A > 0 функція f(x) = 1/x ∉ R([-1, A]) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

Приклад. Розглянемо інтеграл
 \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx.

Для всіх A > 0 функція f(x) = 1/(1+x²) ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

 F(A) := \int_0^A \frac{1}{1+x^2}\, dx = \mathop{\mathrm{arctg}}\, x \Bigr|_{x=0}^A =  
\mathop{\mathrm{arctg}}\, A \rightarrow \pi/2, \quad A \to +\infty.

Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

Приклад. Розглянемо інтеграл
 \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx.

Для всіх A > 1 функція f(x) = 1/x ∈ R([1, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

 F(A) := \int_1^A \frac{1}{x}\, dx = \ln x \Bigr|_{x=1}^A =  
\ln A \rightarrow +\infty, \quad A \to +\infty.

Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад. Розглянемо інтеграл
 \int_0^{+\infty} \cos x \, dx.

Для всіх A > 0 функція f(x) = cos x ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

 F(A) := \int_1^A \cos x\, dx = \sin x \Bigr|_{x=0}^A =  
\sin A.

Оскільки не існує границі sin A при A → +∞,[1] то даний невласний інтеграл є розбіжним.

Означення для інтервалу (−∞, +∞)[ред.ред. код]

Означення. Нехай функція f : (−∞, +∞) → R така, що ∀ A, BR, A < B : fR([A, B]), тобто є скінченним інтеграл Рімана
  \int_{A}^{B} f(x)\, dx =: F(A, B);

Якщо існує скінченна подвійна границя послідовності інтегралів F(A, B), коли A → −∞ та B → +∞ незалежно одне від одного, то

  • значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (−∞, +∞) і позначають одним із символів
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx, \qquad \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx
  • невласний інтеграл \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx називають збіжним.

Якщо ж виконується умова означення, але границя F(A, B) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Властивості[ред.ред. код]

  • \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx збігається ⇔ ∀aR інтеграли \int_{-\infty}^{a}f(x)\, dx, \int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx є збіжними;
  • \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx розбігається ⇔ ∃aR таке, що хоча б один із інтегралів \int_{-\infty}^{a}f(x)\, dx, \int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx

є розбіжним.

Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду[ред.ред. код]

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

Невласний інтеграл  \int \limits_{a}^{\infty}f(x)dx збігається тоді і лише тоді, коли

 \forall \varepsilon > 0  \quad \exists A_0 \ge a \quad \forall A' \ge A_0 \quad \forall A''\ge A_0:\quad \left | \int_{A'} ^{A''} f(x)\, dx \right | < \varepsilon.

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, a).

Ознаки порівняння збіжності невласних інтегралів першого роду[ред.ред. код]

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

  • Якщо існує функція g(x) така, що
    1. |f(x)| ≤ g(x) для всіх xa та
    2. a+∞g(x) dx збігається,

то ∫a+∞f(x) dx теж збігається.

  • Якщо існує функція g(x) така, що
    1. 0 ≤ g(x) ≤ |f(x)| для всіх xa та
    2. a+∞g(x) dx розбігається,

то ∫a+∞f(x) dx теж розбігається.

У випадку, коли f(x) — невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

       f(x) ≤ g(x)
        зб. ⇐ зб.
      розб. ⇒ розб.

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, a) та (−∞, +∞).

Абсолютна збіжність[ред.ред. код]

Означення. Невласний інтеграл  \int_{a}^{+ \infty} f(x)\, dx називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є невласний інтеграл
 \int_{a} ^ {+ \infty} | f(x) | \, dx.
Означення. Збіжний невласний інтеграл, який не є абсолютно збіжним, називається умовно збіжним.
Теорема. Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Ознаки збіжності[ред.ред. код]

Ознака Діріхле[ред.ред. код]

Нехай для функцій {f, g}C([a, +∞)) виконуються умови:

  1. існує стала CR така, що для всіх Aa:  \left| \int_{a}^{A}f(x)dx   \right| \leq C;
  2. функція g монотонна на [a, +∞);
  3. g(x) → 0 при x → +∞.

Тоді збіжним буде невласний інтеграл  \int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\, dx.

Приклад.

Розглянемо інтеграл Діріхле


\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx.

Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції f(x) = sin x та g(x) = 1/x є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

Ознака Абеля[ред.ред. код]

Нехай функції f, g визначені на [a, +∞) та задовольняють умовам:

  1. збіжним є невласний інтеграл \int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx;
  2. функція g монотонна на [a, +∞);
  3. функція g — обмежена на [a, +∞).

Тоді збіжним буде невласний інтеграл  \int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\, dx.

Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)[ред.ред. код]

Невласний інтеграл другого роду є площею нескінченно високої криволінійної трапеції

Невласний інтеграл другого роду є узагальненням інтеграла Рімана для випадку необмеженої функції.

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [ab).

Означення. Точка b називається особливою точкою функції f(x), якщо
  • для всіх α ∈ (0, b − a) функція f є обмеженою на інтервалі [ab − α);
  • функція f — необмежена на інтервалі [ab).

Розглянемо функцію

F(\alpha) := \int_{a}^{b-\alpha}f(x)\, dx, \quad \alpha \in (0,b-a).
Означення. Нехай виконуються умови:
  1. функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [ab);
  2. точка b — особлива точка функції f(x);
  3. існує скінченна границя F(α) при α → 0.

Тоді

  • значення цієї границі називають невласним інтегралом другого роду і позначають символом \int_{a}^{b}f(x)\, dx;
  • кажуть, що цей невласний інтеграл збігається (або є збіжним).

Якщо виконуються умови 1—2 означення, але границя F(α) не існує або дорівнює ±∞, то такий невласний інтеграл розбігається (називається розбіжним).

Зауваження. У випадку, коли функція f(x) має скінченну кількість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розбивають на суму інтегралів по інтервалам, в кожному з яких присутня лише одна особлива точка на одному з кінців інтегрування.

Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів[ред.ред. код]

Нижче наведено відображення, які пов'язують інтервали скінченної на нескінченної довжин:

   x           заміна змінної          t
 I [a, +∞)  →  x = a/(1−t)          →  [0, 1)
II [a, b)   →  x = b − (ba)/(1−t)  →  [0, +∞)

У невласному інтегралі першого роду виконаємо заміну змінних згідно рядку I:

 \int_a^{+\infty} f(x) \, dx  = 
\begin{vmatrix}
 x = \frac{a}{1-t} \\
dx = \frac{a}{(1-t)^2}\, dt
\end{vmatrix} =
\int_0^1 \frac{a}{(1-t)^2} f\left(\frac{a}{1-t}\right)\,  dt,

в результаті чого отримаємо інтеграл по скінченному проміжку [0, 1] від необмеженої функції, тобто невласний інтеграл другого роду.

І навпаки, виконавши заміну в невласному інтегралі другого роду згідно рядку ІІ

 \int_a^b f(x) \, dx  = 
\begin{vmatrix}
 x = b - \frac{b-a}{1-t} \\
dx = - \frac{b-a}{(1-t)^2}\, dt
\end{vmatrix} =
- \int_0^{+\infty} \frac{b-a}{(1-t)^2} f\left(b - \frac{b-a}{1-t}\right)\,  dt,

отримаємо невласний інтеграл першого роду по нескінченному проміжку [0, +∞).

Зауваження. Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів дозволяє звести питання про збіжність невласного інтеграла ІІ роду до питання про збіжність невласного інтеграла І роду, а саме:

невласний інтеграл ІІ роду збігається тоді і лише тоді, коли збігається відповідний невласний інтеграл І роду.

Інтеграл від необмеженої функції по нескінченному проміжку[ред.ред. код]

Розглянемо інтеграл

 \int_a^{+\infty} f(x) \, dx,

в якому підінтегральна функція f(x) має скінченну кількість особливих точок p1 < p2 < … < pn всередині проміжку інтегрування. Щоб обчислити даний інтеграл, потрібно скористатися рівністю

\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \int_a^{p_n+1} f(x) \, dx + \int_{p_n+1}^{+\infty} f(x) \, dx.

В правій частині цієї рівності перший інтеграл — це інтеграл по скінченному проміжку інтегрування зі скінченною кількістю полюсів (див. Зауваження в розділі Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)), а другий інтеграл — це невласний інтеграл першого роду (якщо f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞)). ).

Гамма-функція та бета-функція[ред.ред. код]

Докладніше у статті Гамма-функція
Докладніше у статті Бета-функція

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді власного або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра. Такі функції називаються інтегралами, залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма-функція та бета-функція Ейлера.

Гамма функція представляється невласним інтегралом першого роду:

\Gamma(a)=\int_{0}^{+\infty}x^{a-1} \exp(-x) \, dx, \quad a>0.

Бета функція є невласним інтегралом другого роду:

 B(a, \, b)=\int_{0}^{1}x^{a - 1}(1-x)^{b-1}\, dx, \quad a > 0, \, b > 0.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Розглянемо дві послідовності Ak = 2πk та A´k = π/2 + 2πk, k ≥ 1,. Маємо sin Ak → 0, a sin A´k → 1 при k → +∞.

Джерела[ред.ред. код]