Невластивий інтеграл

Невласти́вий інтегра́л є розширенням поняття визначений інтеграл; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невластивим інтервалом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Визначення

Інтеграл першого роду ("нескінчений інтервал")

Інтеграл "першого роду" на необмеженій області визначення

Нехай $f : [a, + \infty) \Rightarrow \mathbb{R}$ та $\forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx$. Тоді:

1. Якщо $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$, то використовується позначення $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ та інтеграл називається невластивим інтегралом Рімана першого роду. В цьому випадку $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ називається збіжним.
2. Якщо $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \infty \ (\pm \infty$ або $\not\exists)$, то в цьому випадку інтеграл називається розбіжним до $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, чи просто розбіжним.

Інтеграл другого роду ("від необмеженої функції")

Інтеграл "другого роду" від необмеженої функції

Нехай $f (x)$ визначена на $(a, b]$ та $\forall \delta> 0 \Rightarrow \exists \int \limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I} (\delta)$. Тоді:

1. Якщо $\exists \lim_{\delta \to 0 +0} \mathcal{I} (\delta) = I \in \mathbb{R}$, то використовується позначення $I = \int \limits_{a} ^ {b} f(x)dx$ та інтеграл називається невластивим інтегралом Рімана другого роду і називається збіжним.

1. Якщо $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ чи $\not\exists)$, то позначення зберігається, а $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ називається розбіжним до $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, чи просто розбіжним.

Критерій Коші

Для того, щоби невластивий інтеграл $\int \limits_{a}^{\infty}f(x)dx$ збігався, необхідно і достатньо, щоби

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists A_0\ge a \quad \forall A' \ge A_0 \quad \forall A''\ge A_0 \quad:\quad \left | \int \limits_{A'} ^{A''} f(x)dx \right | < \varepsilon$.

Абсолютна збіжність

Інтеграл

$\int \limits_ {a} ^ {+ \infty} f(x)dx \qquad (1)$

називається абсолютно збіжним, якщо інтеграл

$\int \limits_{a} ^ {+ \infty} | f(x) | dx \qquad (2)$

збігається.

Якщо інтеграл $(1)$ збігається, а інтеграл $(2)$ розбігається, то інтеграл $(1)$ називається умовно збіжним

Теорема. Якщо інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Див. також

• Інтеграл Рімана
• Інтеграл Лебега
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Київ, Вища школа, 1985.