Незалежність (імовірність)

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює вірогідність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P})$.

Означення 1. Дві події $A,B\in \mathcal{F}$ називають незалежними, якщо

$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)$.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажемо $B$ ненульова, тобто $\mathbb{P}(B)>0$, визначення незалежності еквівалентне:

$\mathbb{P}(A \mid B ) = \mathbb{P}(A)$,

тобто умовна ймовірність події $~A$ за умови $~B$ дорівнює безумовній вірогідності події $~A$.

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset \mathcal{F}$, де $~I$ — довільна індексна безліч. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

$\mathbb{P}(A_i \cap A_j)= \mathbb{P}(A_i) \cdot \mathbb{P}(A_j),\; \forall i \not= j$.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset \mathcal{F}$. Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій $\{A_{i_k}\}_{k=1}^N$ вірно:

$\mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_n}) = \mathbb{P}( A_{i_1}) \ldots \mathbb{P}(A_{i_n})$.

Приклад 1. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

• $~A_1$: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_2$: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_3$: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події $~A_1,A_2$ сталися, ми знаємо точно, що $~A_3$ також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри

Означення 4. Нехай $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2 \subset \mathcal{F}$ дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

$\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) = \mathbb{P}(A_1)\cdot \mathbb{P}(A_2),\; \forall A_1 \in \mathcal{A}_1,\, A_2\in \mathcal{A}_2$.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Див. також

• Незалежність випадкових величин
• Незалежні однаково розподілені випадкові величини