Незвідний многочлен

Для довільного поля F, многочлен $p(x)$ з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце $F[x]$) називається незвідним у полі $F,$ якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з $F[x]$, що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен $p(x)$ у $F[x]$ може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F.

Прості приклади

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$,

$p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}$.

Над кільцем $\Z$ цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем $\Q$ раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем $\R$ дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але $p_5(x)$ є незвідним.

Над полем $\C$ комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен $p(x)$ над $\C$ може бути розкладений на множники виду:

$p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)$

де $\ n$ — степінь многочлена, $\ a$ — старший коефіцієнт, $\ z_1,\ldots,z_n$ — корені $\ p(x)$. Тому єдиними незвідними многочленами над $\C$ є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена $x^4 + 1$ в полі дійсних чисел має вигляд $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1).$ Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем $\Q$ можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен $x^2+1$ є незвідним над $\Q$ але над полем $\mathbb F_2$ з двох елементів може бути звідним. Наприклад у $\mathbb F_2$, ми маємо:

$(x^2+1) = (x+1)^2 \,$

Незвідність многочлена над цілими числами $\Z$ пов'язана з незвідністю у полі $\mathbb F_p$ з $p$ елементів (для простого числа $p$). А саме, якщо многочлен $p(x)$ над $\Z$ з старшим коефіцієнтом $1$ є звідним у $\Z$ тоді він є звідним у $\mathbb F_p$ для будь-якого простого числа $p$. Зворотне твердження невірне.

Див. також

• Незвідний елемент
• Критерій Ейзенштейна
• Критерій Кона
• Основна теорема алгебри

Джерела

• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 

Посилання

• Незвідний многочлен на сайті PlanetMath.