Незвідний многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Для довільного поля F, многочлен p(x) з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце F[x]) називається незвідним у полі F, якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з F[x], що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен p(x) у F[x] може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F.

Прості приклади[ред.ред. код]

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)},
p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)},
p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}.

Над кільцем \Z цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем \Q раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем \R дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але p_5(x) є незвідним.

Над полем \C комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен p(x) над \C може бути розкладений на множники виду:

 p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)

де \ nстепінь многочлена, \ a — старший коефіцієнт, \ z_1,\ldots,z_nкорені \ p(x). Тому єдиними незвідними многочленами над \C є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа[ред.ред. код]

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена x^4 + 1 в полі дійсних чисел має вигляд (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1). Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля[ред.ред. код]

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем \Q можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен x^2+1 є незвідним над \Q але над полем \mathbb F_2 з двох елементів може бути звідним. Наприклад у \mathbb F_2, ми маємо:

 (x^2+1) = (x+1)^2 \,

Незвідність многочлена над цілими числами \Z пов'язана з незвідністю у полі \mathbb F_p з p елементів (для простого числа p). А саме, якщо многочлен p(x) над \Z з старшим коефіцієнтом 1 є звідним у \Z тоді він є звідним у \mathbb F_p для будь-якого простого числа p. Зворотне твердження невірне.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]