Незвідний многочлен

Для довільного поля $\mathbb {F}$, многочлен $p(x)$ з коефіцієнтами в $\mathbb {F}$ (такі многочлени утворюють кільце $\mathbb {F} [x]$) називається незвідним у полі $\mathbb {F}$, якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з $\mathbb {F} [x]$, що не є константами. Дана властивість залежить від поля $\mathbb {F}$; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен $p(x)$ у $\mathbb {F} [x]$ може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в $\mathbb {F}$. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля $\mathbb {F}$.

Прості приклади

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}$.

Над кільцем $\mathbb {Z}$ цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем $\mathbb {Q}$ раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але $p_{5}(x)$ є незвідним.

Над полем $\mathbb {C}$ комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен $p(x)$ над $\mathbb {C}$ може бути розкладений на множники виду:

$p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})$

де $n$ — степінь многочлена, $a$ — старший коефіцієнт, $z_{1},\ldots ,z_{n}$ — корені $\ p(x)$. Тому єдиними незвідними многочленами над $\mathbb {C}$ є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена $x^{4}+1$ в полі дійсних чисел має вигляд $(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1).$ Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем $\mathbb {Q}$ можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен $x^{2}+1$ є незвідним над $\mathbb {Q}$ але над полем $\mathbb {F} _{2}$ з двох елементів може бути звідним. Наприклад у $\mathbb {F} _{2}$, ми маємо:

$(x^{2}+1)=(x+1)^{2}\,$

Незвідність многочлена над цілими числами $\mathbb {Z}$ пов'язана з незвідністю у полі $\mathbb {F} _{p}$ з $p$ елементів (для простого числа $p$). А саме, якщо многочлен $p(x)$ над $\mathbb {Z}$ з старшим коефіцієнтом $1$ є звідним у $\mathbb {Z}$ тоді він є звідним у $\mathbb {F} _{p}$ для будь-якого простого числа $p$. Зворотне твердження невірне.

Див. також

• Незвідний елемент
• Критерій Ейзенштейна
• Критерій Кона
• Основна теорема алгебри

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Посилання

• Незвідний многочлен на сайті PlanetMath.