Нелінійні диференціальні рівняння

Нелінійні диференціальні рівняння — рівняння, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів у механіці, фізиці, термопружності, оптиці, хімії, біології, економіці та ін.

Виникли нелінійні диференціальні рівняння із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Звичайні нелінійні диференціальні рівняння

Загальне рівняння має вигляд:

$f(x, y, y^\prime, \ldots, y^{(n)})=0 \,$,

де $y$ — невідома функція, х — незалежна змінна, а відома функція f задає рівняння. Максимальний ступінь похідної n називається порядком рівняння.

Загальний розв'язок рівняння n-го порядку залежить від n сталих, які визначаються з початкових або граничних умов.

Приклади

Рівняння

$y^\prime = g(y) \,$

де $g(y)$ — довільна функція, є простим нелінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Це рівняння можна розв'язати. Вираз

$\int \frac{dy}{g(y)} = x + C$

задає розв'язок, як неявну функцію.

Посилання

• mechmat.univ.kiev.ua
• lectures on differential equations MIT Open CourseWare video
• Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics

Дивіться також

• Диференціальні рівняння.