Нелінійні диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нелінійні диференціальні рівняння — рівняння, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів у механіці, фізиці, термопружності, оптиці, хімії, біології, економіці та ін.

Виникли нелінійні диференціальні рівняння із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Звичайні нелінійні диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Загальне рівняння має вигляд:

 f(x, y, y^\prime, \ldots, y^{(n)})=0 \,,

де  y  — невідома функція, х — незалежна змінна, а відома функція f задає рівняння. Максимальний ступінь похідної n називається порядком рівняння.

Загальний розв'язок рівняння n-го порядку залежить від n сталих, які визначаються з початкових або граничних умов.

Приклади[ред.ред. код]

Рівняння

 y^\prime = g(y) \,

де  g(y)  — довільна функція, є простим нелінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Це рівняння можна розв'язати. Вираз

 \int \frac{dy}{g(y)} = x + C

задає розв'язок, як неявну функцію.

Посилання[ред.ред. код]

Дивіться також[ред.ред. код]