Нерівність Єнсена

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.

Дискретний випадок

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x₁, x₂,…,x_n з її області визначення та додатніх чисел a_i, справджується:

$\varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i};$

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

$\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.$

Позначивши $\lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i}$ отримаємо еквівалентне формулювання:

$f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),$

де:

$\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,$

За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:

• Нерівність Коші,
• Нерівності про середнє.

Імовірнісне формулювання

Нехай $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — простір імовірностей, і $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також $\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — інтегровна опукла функція. Тоді

$\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]$,

Де $\mathbb{E}[\cdot]$ — математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ — під-σ-алгебра подій. Тоді

$\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]$,

де $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри $\mathcal{G}$.

Доведення

Дискретний випадок

Якщо λ₁ і λ₂ — два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ₁ + λ₂ = 1 тоді враховуючи опуклість $\scriptstyle\varphi$ маємо

$\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.$

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ₁, λ₂, …, λ_n є додатніми дійсними числами, такими що λ₁ + … + λ_n = 1, тоді

$\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),$

для будь-яких x₁, …, x_n.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λ_i є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ₁. За означенням опуклості:

$\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).$

Оскільки $\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1$, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Див. також

• Нерівність Юнга
• Нерівність Гельдера
• Нерівність Мінковського

Література

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 прим. — ISBN 978-5-94057-892-5
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 прим. — ISBN 5-9221-0156-0