Нерівність Єнсена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,…,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:

\varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i};

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.

Позначивши \lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i} отримаємо еквівалентне формулювання:

f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),

де:

\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,


За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:


Імовірнісне формулювання[ред.ред. код]

Нехай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — простір імовірностей, і X\colon\Omega \to \mathbb{R} — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також \varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R} — інтегровна опукла функція. Тоді

\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)],

Де \mathbb{E}[\cdot] — математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо \mathcal{G}\subset \mathcal{F} — під-σ-алгебра подій. Тоді

\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}],

де \mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}] позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри \mathcal{G}.


Доведення[ред.ред. код]

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Якщо λ1 і λ2 — два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість \scriptstyle\varphi маємо

\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, …, λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + … + λn = 1, тоді

\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),

для будь-яких x1, …, xn.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:

\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).

Оскільки \scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Замітки[ред.ред. код]

  1. Jensen J. L. W. V. Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes // Acta Mathematica, 30 (1906) (1) С. 175–193. — DOI:10.1007/BF02418571.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 прим. — ISBN 978-5-94057-892-5
  • Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 прим. — ISBN 5-9221-0156-0