Нерівність Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо x\geq -1, то

(1+x)^n\geq 1 + nx для всіх n\in\mathbb{N}_0.

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

  • якщо  n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty ), то (1+x)^n\geq 1 + nx
  • якщо  n\in(0;1) \!\ , то (1+x)^n\leq 1+nx
  • при цьому рівність досягається в двох випадках: \left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0 \\ \forall n\neq 0, x=-1 \end{matrix}\right.

Доведення[ред.ред. код]

Доведення  \forall n\in\mathbb{N}_0 проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші n\in\mathbb{R}. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо f(x)=(1+x)^n-nx \!\ , причому x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\ .
Похідна f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\ при x=x_0=0 \!\ , оскільки n \neq 0 \!\ .
Функція f \!\ двічі дифференціюєма в проколотому околі точки x_0 \!\ . Тому f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\ . Отримуємо:

  • f''(x)>0 \!\  f(x) \geq f(x_0) \!\ при  n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )
  • f''(x)<0 \!\  f(x) \leq f(x_0) \!\ при  n\in(0;1) \!\

Значення функції f(x_0)=1 \!\ , відповідно, справедливі наступні тверждення:

  • якщо  n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty ), то (1+x)^n\geq 1 + nx
  • якщо  n\in(0;1) \!\ , то (1+x)^n\leq 1+nx

Неважко помітити, що за відповідних значень x_0=0 \!\ або n=0, n=1 \!\ функція f(x)=f(x_0) \!\ . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на n \!\ , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Нерівність також справедлива для x\geq -2 (при n\in\mathbb{N}_0), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку x\in\left[-2,-1\right) не працює.

Назва[ред.ред. код]

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі