Нерівність Бернуллі

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо $x\geq -1$, то

$(1+x)^n\geq 1 + nx$ для всіх $n\in\mathbb{N}_0.$

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

• якщо $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$, то $(1+x)^n\geq 1 + nx$
• якщо $n\in(0;1) \!\$, то $(1+x)^n\leq 1+nx$
• при цьому рівність досягається в двох випадках: $\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0 \\ \forall n\neq 0, x=-1 \end{matrix}\right.$

Доведення

Доведення $\forall n\in\mathbb{N}_0$ проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

$(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x$.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші $n\in\mathbb{R}$. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$, причому $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$.
Похідна $f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ при $x=x_0=0 \!\$, оскільки $n \neq 0 \!\$.
Функція $f \!\$ двічі дифференціюєма в проколотому околі точки $x_0 \!\$. Тому $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$. Отримуємо:

• $f''(x)>0 \!\$ ⇒ $f(x) \geq f(x_0) \!\$ при $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
  
• $f''(x)<0 \!\$ ⇒ $f(x) \leq f(x_0) \!\$ при $n\in(0;1) \!\$
  

Значення функції $f(x_0)=1 \!\$, відповідно, справедливі наступні тверждення:

• якщо $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$, то $(1+x)^n\geq 1 + nx$
• якщо $n\in(0;1) \!\$, то $(1+x)^n\leq 1+nx$

Неважко помітити, що за відповідних значень $x_0=0 \!\$ або $n=0, n=1 \!\$ функція $f(x)=f(x_0) \!\$. При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на $n \!\$, що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження

• Нерівність також справедлива для $x\geq -2$ (при $n\in\mathbb{N}_0$), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку $x\in\left[-2,-1\right)$ не працює.

Назва

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі