Нерівність Бесселя

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента $x$ у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай $H$ — гільбертів простір, і $e_1, e_2, ...$ — ортонормована послідовність елементів $H$. Тоді для довільного $x \in H$ виконується нерівність:

$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі $H$. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

$0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,$

що виконується для довільного $n \geq 1$.

Посилання

• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — ISBN УДК 517.98(042.4)