Нерівність Бесселя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента x у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай H — гільбертів простір, і e_1, e_2, ... — ортонормована послідовність елементів H. Тоді для довільного x \in H виконується нерівність:

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі H. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,

що виконується для довільного n \geq 1.

Посилання[ред.ред. код]