Нерівність Гельдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів L^p.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F},\mu)простір з мірою, L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) — простір функцій вигляду f:X \to \R із скінченним інтегровним p-им степенем.

Тоді в останньому визначена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p \, \mu(dx)\; \right)^{1/p}, \qquad p \ge 1.

Нехай

f \in L^p, \quad g \in L^q, \quad p,q \ge 1, \quad \frac1p + \frac1q = 1.

Тоді

f \cdot g \in L^1, \quad \|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q

Доведення[ред.ред. код]

Лема[ред.ред. код]

Нехай \phi: [0, \infty) \to [0; \infty) — неперервна строго висхідна функція. Тоді існує обернена функція \phi^{-1} і тоді для всіх додатних a і b:

ab \le \int_{0}^{a} \phi(x) dx + \int_{0}^{b} \phi^{-1}(y) dy.

Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо b = \phi(a).

Власне доведення[ред.ред. код]

Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:

для всіх p \in (1, \infty) і для будь-яких додатних сталих a і b,

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^{p'}}{p'}, (1)

де \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}, тобто p^' = \frac{p}{p - 1}.

Для p = p^' = 2 нерівність очевидна: оскільки (a - b)^2 \ge 0 і звідси a^2 - 2 ab + b^2 \ge 0, з цього ab \le \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}.

Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо \phi(x) = x^{p-1}. Оскільки p > 1 маємо \phi(0) = 0 і \phi є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, \phi^{-1}(y) = y^{\frac{1}{p-1}} і з леми ми отримуємо

ab \le \int_0^a x^{p-1} dx + \int_0^b y^{\frac{1}{p-1}} dy = \frac{a^p}{p} + \frac{b^{p'}}{p'}.

Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли b = a^{p-1}, що тотожно до b^{p'} = a^{p'(p-1)} = a^p.

Покладемо a = \frac{|x_i|}{d_p(x, 0)} і b = \frac{|y_i|}{d_{p'}(y,0)}. Завдяки (1) ми знаходимо

\frac{|x_i y_i|}{d_p(x, 0) d_{p'}(y,0)} \le \frac{|x_i|^p}{p[d_p(x, 0)]^p} + \frac{|y_i|^{p'}}{p'[d_{p'}(y, 0)]^{p'}},

і звідси, беручи суму по всіх i від 1 до n,

\frac{\Sigma_{i=1}^n|x_i y_i|}{d_p(x, 0) d_{p'}(y,0)} \le \frac{\Sigma_{i=1}^n|x_i|^p}{p[d_p(x, 0)]^p} + \frac{\Sigma_{i=1}^n|y_i|^{p'}}{p'[d_{p'}(y, 0)]^{p'}} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1.

Отже, \Sigma_{i=1}^n|x_i y_i| \le d_p(x, 0) d_{p'}(y,0), що і потрібно було довести.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Нерівність Коші — Буняковского[ред.ред. код]

Поклавши p = q = 2, отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору L^2.

Евклідів простір[ред.ред. код]

Розглянемо Евклідів простір E = \R^n або \C^n. L^p-норма у цьому просторі має вигляд:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1,\ldots, x_n)^{\top},

тоді:  \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q}, \quad \forall x,y \in E.

Простір lp[ред.ред. код]

Нехай X = \N, \, \mathcal{F} = 2^\N, \, mскінченна міра на \N. Тоді множина всіх послідовностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких що

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

називається l^p. Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q}, \quad \forall x \in l^p, y\in l^q.

Ймовірнісний простір[ред.ред. код]

Нехай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})ймовірнісний простір. Тоді L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) складається з випадкових величин із скінченним pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, де символ \mathbb{E} позначає математичне сподівання.

Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q}, \quad \forall X \in L^p, Y \in L^q.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.