Нерівність Маркова

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору $(\Omega, \mathcal{F})$ з мірою $\displaystyle \mu$ заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

$\mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.$

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ визначена на ймовірносному просторі $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

$\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a}$,

де $a>0$.

якщо розгляняти випадкову величину $\displaystyle X-\textrm{E}(X)$, то отримаємо нерівність Чебишева:

$\textrm{Pr}(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.$

Приклад

Хай $X \geqslant 0$ — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши $a = 2 \mathbb{E}X$, отримаємо

$\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}$.

Див. також

• Нерівність Чебишова
• Марков Андрій Андрійович