Нерівність Маркова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання[ред.ред. код]

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору  (\Omega, \mathcal{F}) з мірою \displaystyle \mu заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

 \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина X:\Omega \to \mathbb{R} визначена на ймовірносному просторі (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}), і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a},

де a>0.

якщо розгляняти випадкову величину \displaystyle X-\textrm{E}(X), то отримаємо нерівність Чебишева:

\textrm{Pr}(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.

Приклад[ред.ред. код]

Хай X \geqslant 0 — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши a = 2 \mathbb{E}X, отримаємо

\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}.

Див. також[ред.ред. код]