Нерівність Маркова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання[ред.ред. код]

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору  (\Omega, \mathcal{F}) з мірою \displaystyle \mu заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

 \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина X:\Omega \to \mathbb{R} визначена на ймовірносному просторі (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}), і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a},

де a>0.

якщо розглянути випадкову величину \displaystyle X-\textrm{E}(X), то отримаємо нерівність Чебишева:

\textrm{Pr}(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо, що функція f невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію s на X задану через


s(x) =
\begin{cases}
  \varepsilon, & f(x) \geq \varepsilon  \\
  0, & f(x) < \varepsilon
\end{cases}

Тоді 0\leq s(x)\leq f(x). Згідно з визначенням інтеграла Лебега


\int_X f(x) \, d\mu \geq \int_X s(x) \, d \mu = \varepsilon \mu( \{ x\in X : \, f(x) \geq \varepsilon \} )

і, з того, що \varepsilon >0 , обидві сторони можна поділити на \varepsilon, отримуючи

\mu(\{x\in X : \, f(x) \geq \varepsilon \}) \leq {1\over \varepsilon }\int_X f \,d\mu.

Приклад[ред.ред. код]

Хай X \geqslant 0 — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши a = 2 \mathbb{E}X, отримаємо

\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}.

Див. також[ред.ред. код]