Нерівність Чебишова

Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного очікування. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема

Нехай $X$ є випадковою змінною із математичним сподіванням $\eta$ і дисперсією ${\sigma}^2$. Тоді для всякого $\epsilon > 0$ виконується нерівність:

$P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} \le \frac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}$

Доведення

Нехай $F(x)$  - функція розподілу змінної $X$. Тоді:

$P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{-\infty}^{-\eta-\epsilon} \,dF(x) + \int_{\eta+\epsilon}^{\infty} \,dF(x) = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x)$

Звідси одержуємо,

${\sigma}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x)$ З того, що $P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x)$ одержуємо твердження теореми.

Див. також

• Нерівність Маркова
• Нерівність Ляпунова
• Чебишов Пафнутій Львович

Література

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002