Нерівність Чебишова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишева для сум чисел.

Нерівність Чебишева — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного очікування. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай  X є випадковою змінною із математичним сподіванням  \eta і дисперсією  {\sigma}
 . Тоді для всякого  \epsilon > 0 виконується нерівність:


P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} \le \frac{{\sigma}}{{\epsilon}^2}

Доведення[ред.ред. код]

Нехай  F(x)  - функція розподілу змінної  X . Тоді:

 
P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{-\infty}^{-\eta-\epsilon} \,dF(x) + \int_{\eta+\epsilon}^{\infty} \,dF(x) = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x)

Звідси одержуємо,

 
{\sigma} = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x) 
З того, що  P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x) одержуємо твердження теореми.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002