Нерівність Чебишова для сум чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

і

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Аналогічно, якщо

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

і

b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Доведення[ред.ред. код]

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n \,

і

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n. \,

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,
\vdots \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,

одержуємо

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

або, розділивши на n^2:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.

Неперервний випадок[ред.ред. код]

Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:

Якщо f(x) і g(x)дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то

 \int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.\,

Посилання[ред.ред. код]