Нерівність Чебишова для сум чисел

Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

і

$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Аналогічно, якщо

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

і

$b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Доведення

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n \,$

і

$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n. \,$

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

одержуємо

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

або, розділивши на $n^2$:

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

Неперервний випадок

Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:

Якщо f(x) і g(x) — дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то

$\int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.\,$

Посилання

• Нерівність Чебишова на PlanetMath.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Нерівність Чебишова для сум чисел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.