Нерівність Юнга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь яких дійсних чисел a,b \ge 0 і p,q \ge 1 таких, що \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 справедливо:

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

Доведення[ред.ред. код]

Нерівність Юнга - опуклість логарифма.tif

Для a=0 чи b=0 нерівність очевидна. Для a>0, b>0 нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких x_1, x_2>0

\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \ge \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, ~~~ \mathcal{8} \alpha, \beta \ge 0, \alpha + \beta = 1.

Взявши в даній нерівності  \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a^{p}, ~ x_2 = b^{p}, одержимо, що

\ln (\frac{a^p}{p} + \frac{b^p}{q}) \ge \frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^p}{q}=\ln (a b),

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. також[ред.ред. код]