Нескінченна множина

Нескінченна множина — множина, що не є скінченною. Можна дати ще декілька еквівалентних означень нескінченної множини:

• Множина, в якій для будь-якого натурального числа $n$ знайдеться скінченна підмножина із $n$ елементів.
• Множина, в якій знайдеться зліченна підмножина.
• Множина, в якій знайдеться підмножина, рівнопотужна деякому (ненульовому) граничному ординалу.
• Множина, для якої існує бієкція з деякою його власною підмножиною.

Для будь-якої нескінченної множини існує множина з ще більшою потужністю — таким чином, не існує нескінченної множини найбільшої потужності. Потужності нескінченних множин називаються алефами (англ.) і позначаються $\aleph_\alpha,$ де індекс $\alpha$ пробігає всі порядкові числа. Потужності нескінченних множин складають цілком упорядкований клас — найменшою потужністю нескінченної множини є $\aleph_0$ (алеф-0, потужність множини натуральних чисел), за ним слідують $\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots\aleph_{\omega_{\omega_1}},\dots$

Приклади

• Множини натуральних чисел $\N,$ цілих чисел $\Z,$ раціональних чисел $\Q,$ дійсних чисел $\R,$ комплексних чисел $\C$ — є нескінченними множинами.
• Множина функцій $\N \to \N$ є нескінченною.
• Упорядкована нескінченна множина може мати «кінці» (мінімальний і максимальний елементи) — наприклад, множина раціональних чисел на відрізку $[0, 1].$
• Сукупність усіх нескінченних підмножин зліченної множини є незліченною нескінченною множиною.

Див. також

• Нескінченність
• Потужність множини
• Аксіоматика теорії множин
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гіпотеза

Це незавершена стаття з теорії множин. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.