Нескінченний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, для послідовності чисел a_1,a_2,a_3,\dots нескінченний добуток


\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots

визначається, як границя часткових добутків a_1a_2\dots a_n при n\to\infty. Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність \lim_{n\to\infty}a_n=1. Отже логарифм \ln a_n\, визначений для всіх n, за винятком скінченного числа значень, присутність яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності a_n додатні то виконується рівність:

\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,

у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого n a_n\geqslant 1, позначимо p_n=a_n-1, тоді a_n=p_n+1 і p_n\geqslant 0, звідки слідує нерівність:

1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

яка показує, що нескінченний добуток \prod_{n=1}^{\infty} a_n збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд \sum_{n=1}^{\infty} p_n.

У випадку 1 > a_n > 0 для будь-якого n збіжність нескінченного добутку \prod_{n=1}^{\infty} a_n також еквівалентна збіжності ряду \sum_{n=1}^{\infty} p_n. У загальному випадку збіжность рядів \sum_{n=1}^{\infty} p_n і \sum_{n=1}^{\infty} p_n^2 є достатньою умовою збіжності \prod_{n=1}^{\infty} a_n.

Приклади[ред.ред. код]

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для \pi, такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right)

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку[ред.ред. код]

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція f, з коренями \{0\}\cup\{a_n\}\to\infty, де точка 0 — корінь порядку \lambda, може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right),

де h — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа p_n підібрані так, щоб ряд \sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1} сходився. При p_n = 0 відповідна множнику номер n експонента опускається (вважається рівною \exp(0) = 1).

Приклади[ред.ред. код]

Синус

\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)

Гамма-функція

1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}

Сигма-функція Вейєрштрасса

\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{1}{2\omega^2}z^2+\frac{1}{\omega}z}

Дзета-функція Рімана

\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}

де pn — послідовність простих чисел.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. гл. ІХ, $6— Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.