Нескінченний добуток

У математиці, для послідовності чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$ нескінченний добуток

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots$

визначається, як границя часткових добутків $a_1a_2\dots a_n$ при $n\to\infty$. Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність $\lim_{n\to\infty}a_n=1$. Отже логарифм $\ln a_n\,$ визначений для всіх $n$, за винятком скінченного числа значень, присутність яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності $a_n$ додатні то виконується рівність:

$\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,$

у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого $n$ $a_n\geqslant 1$, позначимо $p_n=a_n-1$, тоді $a_n=p_n+1$ і $p_n\geqslant 0$, звідки слідує нерівність:

$1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)$

яка показує, що нескінченний добуток $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$.

У випадку $1 > a_n > 0$ для будь-якого $n$ збіжність нескінченного добутку $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ також еквівалентна збіжності ряду $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$. У загальному випадку збіжность рядів $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ і $\sum_{n=1}^{\infty} p_n^2$ є достатньою умовою збіжності $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$.

Приклади

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для $\pi$, такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right)$

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція $f$, з коренями $\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty$, де точка 0 — корінь порядку $\lambda$, може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)$,

де $h$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа $p_n$ підібрані так, щоб ряд $\sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1}$ сходився. При $p_n = 0$ відповідна множнику номер $n$ експонента опускається (вважається рівною $\exp(0) = 1$).

Приклади

Синус	$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)$
Гамма-функція	$1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}$
Сигма-функція Вейєрштрасса	$\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{1}{2\omega^2}z^2+\frac{1}{\omega}z}$
Дзета-функція Рімана	$\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}$	де pn — послідовність простих чисел.

Див. також

• Формула Валліса

Посилання

• Infinite products from Wolfram Math World

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. гл. ІХ, $6— Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.