Нескінченно мала величина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Нескінченно мала[ред.ред. код]

Означення[ред.ред. код]

Послідовність a_n називається нескінченно малою, якщо \lim_{n\to\infty}a_n=0. Наприклад, послідовність чисел a_n=\frac{1}{n} — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність a_n називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої[ред.ред. код]

  • Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
  • Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
  • Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
  • Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності x_n, якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої[ред.ред. код]

Функція називається нескінченно малою в околиці точки x_0, якщо \lim_{x\to x_0}f(x)=0.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 або \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є \lim_{x\to+\infty}f(x)=a, то f(x)-a=\alpha(x) , \lim_{x\to+\infty}(f(x)-a)=0.

Інфінітезимальнийматематичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величин[ред.ред. код]

Порівняння нескінченно малих[ред.ред. код]

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

  • Якщо відношення \tfrac{\beta}{\alpha} (а з ним і \tfrac{\alpha}{\beta}) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі \alpha та

\beta вважаються величинами одного порядку.

  • Якщо ж відношення \tfrac{\beta}{\alpha} само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення \tfrac{\alpha}{\beta} нескінченно великою), то нескінченно мала \beta вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала \alpha, та одночасно нескінченно мала \alpha буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала \beta.

Якщо нескінченно мала \beta виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала \alpha, то цей факт записують так: \beta=o(\alpha)

Шкала нескінченно малих[ред.ред. код]

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі з ступеней основної нескінченно малої \alpha (будемо вважати, що \alpha > 0) з різними додатніми показниками, \alpha^k, складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

  • Домовляються вважати нескінченно малу \beta величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої \alpha), якщо \beta та \alpha^k (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення \tfrac{\beta}{\alpha^k} має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно малі[ред.ред. код]

  • Нескінченно малі \alpha та \beta вважаються еквівалентними (в знаках \alpha \sim \beta), якщо їх різниця \gamma = \beta - \alpha є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих \alpha та \beta:

\gamma = o(\alpha) та \gamma = o(\beta)

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі \alpha та \beta, так що \beta = \alpha + \gamma, де \gamma = o(\alpha). Якщо наближено припустити \beta = \alpha, то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як \left | \gamma \right |, але і відносна похибка, що дорівнює \left | \tfrac{\gamma}{\alpha} \right |. Іншими словами, при достатньо малих значеннях \alpha та \beta можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що \beta = \alpha . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

  • Для того, щоб дві нескінченно малі \alpha та \beta були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було \lim\tfrac{\beta}{\alpha} = 1

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

\delta = \tfrac{\beta}{\alpha} - 1 \to \ 0

Тоді

\gamma=\beta - \alpha = \delta * \alpha

буде величиною вищого порядку, ніж \alpha, тому що

\lim\tfrac{\gamma}{\alpha} = \lim\delta = 0

Обернено, нехай тепер \alpha та \beta еквівалентні, тобто \gamma=\beta - \alpha нескінченно мала вищого порядку, ніж \alpha. Наслідком цього маємо

\tfrac{\beta}{\alpha} - 1 = \tfrac{\gamma}{\alpha} \to \ 0, звідкіля \tfrac{\beta}{\alpha} \to \ 1

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частини[ред.ред. код]

Якщо вибрана основна нескінченно мала \alpha, то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду c*\alpha^k, де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала \beta буде k-го порядку відносно \alpha, тобто

\lim\tfrac{\beta}{\alpha^k}=c

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

\lim\tfrac{\beta}{c\alpha^k}=1

і нескінченно малі \alpha та \beta виявляються еквівалентними: \beta \sim c\alpha^k.

Ця найпростіша нескінченно мала c\alpha^k, еквівалентна даній нескінченно малій \beta, називається її головною частиною (або головним членом)

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]