Нескінченно мала величина

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Нескінченно мала

Означення

Послідовність $a_n$ називається нескінченно малою, якщо $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Наприклад, послідовність чисел $a_n=\frac{1}{n}$ — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність $a_n$ називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої

• Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
• Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
• Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
• Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності $x_n$, якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої

Функція називається нескінченно малою в околиці точки $x_0$, якщо $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ або $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$, то $f(x)-a=\alpha(x)$ , $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-a)=0$.

Інфінітезимальний — математичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величин

Порівняння нескінченно малих

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

• Якщо відношення $\tfrac{\beta}{\alpha}$ (а з ним і $\tfrac{\alpha}{\beta}$) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі $\alpha$ та

$\beta$ вважаються величинами одного порядку.

• Якщо ж відношення $\tfrac{\beta}{\alpha}$ само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення $\tfrac{\alpha}{\beta}$ нескінченно великою), то нескінченно мала $\beta$ вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала $\alpha$, та одночасно нескінченно мала $\alpha$ буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала $\beta$.

Якщо нескінченно мала $\beta$ виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала $\alpha$, то цей факт записують так: $\beta=o(\alpha)$

Шкала нескінченно малих

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі з ступеней основної нескінченно малої $\alpha$ (будемо вважати, що $\alpha > 0$) з різними додатніми показниками, $\alpha^k$, складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

• Домовляються вважати нескінченно малу $\beta$ величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої $\alpha$), якщо $\beta$ та $\alpha^k$ (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення $\tfrac{\beta}{\alpha^k}$ має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно малі

• Нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ вважаються еквівалентними (в знаках $\alpha \sim \beta$), якщо їх різниця $\gamma = \beta - \alpha$ є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих $\alpha$ та $\beta$:

$\gamma = o(\alpha)$ та $\gamma = o(\beta)$

Розглянемо дві еквівалентні нескітченно малі $\alpha$ та $\beta$, так що $\beta = \alpha + \gamma$, де $\gamma = o(\alpha)$. Якщо наближено припустити $\beta = \alpha$, то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як $\left | \gamma \right |$, але і відносна похибка, що дорівнює $\left | \tfrac{\gamma}{\alpha} \right |$. Іншими словами, при достатньо малих значеннях $\alpha$ та $\beta$ можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що $\beta = \alpha$. На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

• Для того, щоб дві нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було $\lim\tfrac{\beta}{\alpha} = 1$

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

$\delta = \tfrac{\beta}{\alpha} - 1 \to \ 0$

Тоді

$\gamma=\beta - \alpha = \delta * \alpha$

буде величиною вищого порядка, ніж $\alpha$, тому що

$\lim\tfrac{\gamma}{\alpha} = \lim\delta = 0$

Обернено, нехай тепер $\alpha$ та $\beta$ еквівалентні, тобто $\gamma=\beta - \alpha$ нескінченно мала вищого порядку, ніж $\alpha$. Наслідком цього маємо

$\tfrac{\beta}{\alpha} - 1 = \tfrac{\gamma}{\alpha} \to \ 0$, звідкіля $\tfrac{\beta}{\alpha} \to \ 1$

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частини

Якщо вибрана основна нескінченно мала $\alpha$, то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду $c*\alpha^k$, де с - постійний коефіціент і k > 0. Нехай нескінченно мала $\beta$ буде k-го порядку відносно $\alpha$, тобто

$\lim\tfrac{\beta}{\alpha^k}=c$

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

$\lim\tfrac{\beta}{c\alpha^k}=1$

і нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ виявляються еквівалентними: $\beta \sim c\alpha^k$.

Ця найпростіша нескінченно мала $c\alpha^k$, еквівалентна даній нескінченно малій $\beta$, називається її головною частиною (або головним членом)

Див. також

• Диференціал

Джерела

• Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, Наука, 1981 г.
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. I, 1969, Москва: Наука.