Нестійкість Релея — Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розвиток нестабільності Релея - Тейлора.

Нестійкість Релея - Тейлора - виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії - вода буде намагатися проникнути крізь масло.

Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.

Аналітичний опис[ред.ред. код]

Задача про нестійкості Релея - Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння \vec{g} один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації - синій колір), щільності рідин \rho_1, \rho_2. Верхня і нижня межі - тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g},

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

Надалі компоненти швидкості визначаються як \vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}. Цілком очевидно, що рівноважне рішення (\vec{v} = 0) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:


\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):


P_0 = - \rho g z.

Внесемо в рівноважний стан малі обурення. Нехай швидкість \vec{v} настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд P = P_0 + P', де P' << P_0. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P,

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова


\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w,

і динамічна умова


\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta.

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:


z=\pm h: \quad w = 0,

де \ zeta - величина відхилення кордону від незбуреної, \sigma - коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:


\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)},

де \lambda - швидкість росту (інкремент) обурення,  k_x, k_y - компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається w:


\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z},

а умова \operatorname{div}\vec{v} = 0 дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:


\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0,

з граничними умовами:


z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta,

z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0,

z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0.

Рішення рівняння Лапласа для тиску:


P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right),

P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right).

Константи C_1, C_2 визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора


\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh,


звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при \lambda = 0 ):

k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}.

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів ( kh >> 1 ) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}.

У тонких шарах ( kh << 1 ):

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}.

Література[ред.ред. код]

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. - С. 143-146.
  • Векштейн Г.Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 109-111.

Посилання[ред.ред. код]