Нормальна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця \ A з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

\ A^*A=AA^*.

Розклад матриці за допомогою власних векторів[ред.ред. код]

Матриця \ A є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця \ U та діагональна матриця \Lambda \!, що виконується:

\ A = U \Lambda U^*.

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць U\! та \Lambda \! справедливі такі властивості:

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо  A — нормальна матриця, то в матриць  A, A^* власні вектори будуть однаковими, а власні значеннякомплексно-спряженими:
A = U \Lambda U^* \quad \Rightarrow \quad A^* = U \Lambda^* U^*.
Матриця  A буде нормальною тоді і тільки тоді, коли P, U будуть переставними:
 A^*A=AA^* \; \iff \; P U = U P.
Матриця  A буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці H_1, H_2 будуть переставними:
 A^*A=AA^* \; \iff \; H_1H_2 = H_2H_1.
  • Нормальні матриці A, B є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
AB=BA \quad \iff \quad \exists \; U, \Lambda_1, \Lambda_2: \quad A=U\Lambda_1 U^*, \quad B=U\Lambda_2 U^*.
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
  • Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці A, B є нормальними та переставними, тоді матриці:
\ AB, A+B, kA — теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами[ред.ред. код]

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комлексних чисел, то в такому випадку:

Приклади[ред.ред. код]

Матриця A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} є нормальною, оскільки AA^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A^*A.

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]