Нормальна підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

Визначення[ред.ред. код]

Підгрупа \ N групи \ G називається нормальною, якщо вона інваріантна щодо спряження, тобто:

N \triangleleft G \quad \iff \quad \forall n \in N, g \in G: \;\; gng^{-1} \in N.

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

  1. \forall g \in G: \; gNg^{-1} \sube N
  2. \forall g \in G: \; gNg^{-1} = N
  3. Множини лівих і правих суміжних класів N в G збігаються.
  4. \forall g \in G: \; gN = Ng.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади[ред.ред. код]

  • \ \{ e \} та G — завжди нормальні підгрупи G. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група G називається простою.

Властивості[ред.ред. код]

  • Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
  • Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
  • Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.
  • Кожна підгрупа індекса 2 є нормальною. Якщо p — найменьший простий дільник порядка G, то довільна підгрупа індекса p нормальна.
  • Якщо N — нормальна підгрупа в G, то на множині лівих (правих) суміжних класів G / N можна ввести групову структуру по правилу
(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N
Отримана множина називається факторгрупою G по N.

Історичні факти[ред.ред. код]

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Література[ред.ред. код]