Нормальна підгрупа

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

Визначення

Підгрупа $\ N$ групи $\ G$ називається нормальною, якщо вона інваріантна щодо спряження, тобто:

$N \triangleleft G \quad \iff \quad \forall n \in N, g \in G: \;\; gng^{-1} \in N.$

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

1. $\forall g \in G: \; gNg^{-1} \sube N$
2. $\forall g \in G: \; gNg^{-1} = N$
3. Множини лівих і правих суміжних класів $N$ в $G$ збігаються.
4. $\forall g \in G: \; gN = Ng$.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

• $\ \{ e \}$ та $G$ — завжди нормальні підгрупи $G$. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група $G$ називається простою.

• Центр групи — нормальна підгрупа.

• Комутант групи — нормальна підгрупа.

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

• Всі підгрупи $N$ абелевої групи $G$ нормальні, тому що $g N = N g$. Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

• Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.
• Кожна підгрупа індекса 2 є нормальною. Якщо $p$ — найменьший простий дільник порядка $G$, то довільна підгрупа індекса $p$ нормальна.
• Якщо $N$ — нормальна підгрупа в $G$, то на множині лівих (правих) суміжних класів $G / N$ можна ввести групову структуру по правилу

$(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N$

Отримана множина називається факторгрупою $G$ по $N$.

• $N$ нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих сміжних класах $G / N$.
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Історичні факти

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.