Нормальне розширення

Норма́льне розширення — розширення поля L/K для якого кожен незвідний многочлен f(x) над K, що має хоч би один корінь в L, розкладається в L на лінійні множники.

Рівносильні визначення

• Якщо K ⊆ L ⊆ K^*, де K^* — алгебраїчне замикання поля К, то розширення L/K нормальне якщо довільне вкладення σ L в алгебраїчне замикання K^*, для якого σ(K) = K, задовольняє також рівність σ(L) = L, тобто дане вкладення є автоморфізмом поля L.
• Довільне алгебраїчне розширення розширення L/K є нормальним тоді і тільки тоді, коли L є полем розкладу деякої множини многочленів з K[x]. Зокрема довільне скінченне розширення L/K є нормальним тоді й лише тоді, коли L є полем розкладу деякого многочлена над K.

Нормальні розширення у відповідності Галуа

Якщо L — розширення Галуа поля K, а E — деяке проміжне підполе K ⊆ E ⊆ L, то група Галуа Gal(L/E) за визначенням складається з усіх автоморфізмів L, що залишають незмінними елементи E. Якщо σ — деякий автоморфізм повної групи Галуа Gal(L/K) , що відображає E на σ(E) то, очевидно, що

Gal(L/σE)=σGal(F/E)σ^-1

Тому розширення E нормально тоді і тільки тоді, коли підгрупа Gal(L/E) є нормальною підгрупою в Gal(L/K) .

Властивості

• Якщо L нормальне розширення K і E — проміжне поле (тобто L ⊃ E ⊃ K), тоді L є також нормальним розширенням поля E.

• Якщо E і F — нормальні розширення поля K, що містяться в деякому полі L, тоді добуток EF і E ∩ F є також нормальними розширеннями K.

Нормальне замикання

Якщо K — поле і L — розширення K, тоді існує деяке розширення M поля L таке що M є нормальним розширенням K. Окрім того з точністю до ізоморфізму існує єдине таке розширення, що є мінімальним, тобто єдиним підполем поля M, що містить L і є нормальним розширенням K є саме поле M. Таке розширення M називається нормальним замиканням розширення L поля K.

Якщо L є скінченним розширенням K, то його нормальне замикання теж буде скінченним.

Приклад

Поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ є нормальним розширенням поля $\mathbb {Q}$ оскільки воно є полем розкладу многочлена $x^{2}-2$. Натомість $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ не є нормальним розширенням поля $\mathbb {Q}$ оскільки $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ містить корінь ${\sqrt[{3}]{2}}$ многочлена $x^{3}-2$ але не містить двох недійсних його коренів.

Література

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-986-1 .