Нормальне розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Норма́льне розширеннярозширення поля L/K для якого кожен незвідний многочлен f(x) над K, що має хоч би один корінь в L, розкладається в L на лінійні множники.

Рівносильні визначення[ред.ред. код]

  • Якщо K ⊆ L ⊆ K*, де K*алгебраїчне замикання поля К, то розширення L/K нормальне якщо довільне вкладення σ L в замикання, алгебри K*, для якого σ(K) = K, задовольняє також рівність σ(L) = L, тобто дане вкладення є автоморфізмом поля L.
  • Довільне алгебраїчне розширення розширення L/K є нормальним тоді і тільки тоді, коли L є полем розкладу деякої множини многочленів з K[x]. Зокрема довільне скінченне розширення L/K є нормальним тоді й лише тоді, коли L є полем розкладу деякого многочлена над K.

Нормальні розширення у відповідності Галуа[ред.ред. код]

Якщо Lрозширення Галуа поля K, а E — деяке проміжне підполе K ⊆ E ⊆ L, то група Галуа Gal(L/E) за визначенням складається з усіх автоморфізмів L, що залишають незмінними елементи E. Якщо σ — деякий автоморфізм повної групи Галуа Gal(L/K) , що відображає E на σ(E) те, очевидно, що

Gal(F/σE)=σGal(F/E)σ-1

Тому розширення E нормально тоді і тільки тоді, коли підгрупа Gal(F/E) є нормальною підгрупою в Gal(F/K) .

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо L нормальне розширення K і E — проміжне поле (тобто L ⊃ E ⊃ K), тоді L є також нормальним розширенням поля E.
  • Якщо E і F — нормальні розширення поля K, що містяться в деякому полі L, тоді добуток EF і E ∩ F є також нормальними розширеннями K.

Нормальне замикання[ред.ред. код]

Якщо K — поле і L — розширення K, тоді існує деяке розширення M поля L таке що M є нормальним розширенням K. Окрім того з точністю до ізоморфізму існує єдине таке розширення, що є мінімальним, тобто єдиним підполем поля M, що містить L і є нормальним розширенням K є саме поле M. Таке розширення M називається нормальним замиканням розширення L поля K.

Якщо L є скінченним розширенням K, то його нормальне замикання теж буде нормальним.

Приклад[ред.ред. код]

Поле \Q(\sqrt{2}) є нормальним розширенням поля \Q оскільки воно є полем розкладу многочлена x^2-2. Натомість \Q(\sqrt[3]{2}) не є нормальним розширенням поля \Q оскільки \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) містить корінь \sqrt[3]{2} многочлена x^3-2 але не містить двох недійсних його коренів.

Література[ред.ред. код]

  1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
  2. Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-986-1 .