Норма матриці

В математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай в просторі векторів $\mathbb{R}^m$ визначена норма вектора $\|\cdot\|$. Тоді нормою матриці $A$ називають число $\|A\| = \sup_{x \ne 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1} {\|Ax\|}$.

Прямі вирази

В залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

1. $\|x\|_\infty = \max_{1 \le j \le m} \left|x_j\right|$. Тоді
   $\|A\|_\infty = \max_{1 \le i \le m}\left(\sum_{j=1}^m |a_{ij}|\right)$
2. $\|x\|_1 = \sum_{j=1}^m \left|x_j\right|$. Тоді
   $\|A\|_1=\max_{1 \le j \le m} \left(\sum_{i=1}^m \left| a_{ij} \right| \right)$
3. $\|x\|_2 = \sqrt {\sum_{j=1}^m {\left| x_j \right|}^2} = \sqrt {(x, x)}$. Тоді
   $\|A\|_2 = \sqrt { \max_{1 \le i \le m} \lambda^i_{A^T \cdot A} }$,
   де $\lambda^i_D$ — власні значення матриці $D$.

Векторні норми

Матрицю розмірності $m\times n$ можна трактувати як вектор довжини $mn$ і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса

Виглядає так:

$\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}$

Властивості норми матриці

Хай $K$ позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай $K^{m \times n}$ позначає векторний простір, що містить всі матриці з $m$ рядків та $n$ стовпців з елементами типу $K$.

Якщо $\|A\|$ позначає норму матриці $A$, тоді для неї виконуються такі властивості:

• $\|A\|> 0$ якщо $A\ne0$ та $\|A\|= 0$ тоді і тільки тоді, коли $A=0$
• $\|\alpha A\|=|\alpha| \cdot \|A\|, \qquad \forall \alpha \in K$ та $\forall A \in K^{m \times n}$
• $\|A+B\| \le \|A\|+\|B\|, \qquad \forall A,B \in K^{m \times n}.$

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

• $\|AB\| \le \|A\|\|B\|$ для всіх $A$ та $B$ з $K^{n \times n}.$

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Посилання

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.