Норма матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай в просторі векторів \mathbb{R}^m визначена норма вектора \|\cdot\|. Тоді нормою матриці A називають число \|A\| = \sup_{x \ne 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1} {\|Ax\|} .

Прямі вирази[ред.ред. код]

В залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

  1. \|x\|_\infty = \max_{1 \le j \le m} \left|x_j\right|. Тоді
    \|A\|_\infty = \max_{1 \le i \le m}\left(\sum_{j=1}^m |a_{ij}|\right)
  2. \|x\|_1 = \sum_{j=1}^m \left|x_j\right|. Тоді
    \|A\|_1=\max_{1 \le j \le m} \left(\sum_{i=1}^m \left| a_{ij} \right| \right)
  3. \|x\|_2 = \sqrt {\sum_{j=1}^m {\left| x_j \right|}^2} = \sqrt {(x, x)}. Тоді
    \|A\|_2 = \sqrt { \max_{1 \le i \le m} \lambda^i_{A^T \cdot A} },
    де \lambda^i_Dвласні значення матриці D.

Векторні норми[ред.ред. код]

Матрицю розмірності m\times n можна трактувати як вектор довжини mn і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса[ред.ред. код]

Виглядає так:

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}

Властивості норми матриці[ред.ред. код]

Хай K позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай K^{m \times n} позначає векторний простір, що містить всі матриці з m рядків та n стовпців з елементами типу K.

Якщо \|A\| позначає норму матриці A, тоді для неї виконуються такі властивості:

  • \|A\|> 0 якщо A\ne0 та \|A\|= 0 тоді і тільки тоді, коли A=0
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \cdot  \|A\|, \qquad \forall \alpha \in K та \forall A \in K^{m \times n}
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\|, \qquad \forall A,B \in K^{m \times n}.

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

  • \|AB\| \le \|A\|\|B\| для всіх A та B з K^{n \times n}.

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.