Норма (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми[ред.ред. код]

Нормою у векторному просторі \!V над полем \mathbb{K} називають відображення \|\cdot\|:V\rightarrow\mathbb{R}, що задовольняє наступним умовам:

  1. \|v\| \geq 0,\quad \|v\|=0 тільки при v =\vec{0} (невід'ємність)
  2. \|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad де r\in\mathbb{K} — скаляр (однорідність)
  3. \|u+v\|\,\le\,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості[ред.ред. код]

За допомогою норми \|\cdot\|, векторний простір  V одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань d(u,v)=\|u-v\|. Зазначимо, що для будь-яких u,v,w\in V виконується d(u+w,v+w)=d(u,v), метрики на векторному просторі V з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір  V є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли  V  — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми[ред.ред. код]

З геометричної точки зору, задання норми на V — це те й саме, що і задання її одиничної кулі B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\}, тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору V, що містить нульовий вектор \vec{0} серед своїх внутрішніх точок.

Приклади[ред.ред. код]

Евклідова норма[ред.ред. код]

Докладніше: Евклідова норма

Нехай V=\mathbb{R}^n — це n-вимірний коордінатний векторний простір. Евклідова норма на V визначається за формулою \|u\|=\sqrt{(u,u)}, де (u,v)=\sum_{i=1}^n u_i v_i — це стандартний скалярний добуток на \mathbb{R}^n. Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у \mathbb{R}^n. Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

sup норма[ред.ред. код]

Нехай V=\mathbb{R}^n, але цього разу визначимо норму за формулою \|u\|=\operatorname{sup}_{i=1}^n |u_i| (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб \{u\in\mathbb{R}^n:|u_i|\leq 1, 1\leq i\leq n\}, що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між -1 і 1.

Манхетенська норма[ред.ред. код]

Нехай V=\mathbb{R}^n, але цього разу визначимо норму за формулою \|u\|=\sum_{i=1}^n|u_i|. Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом n-вимірного простору полярним до n-вимірного куба.

Еквівалентність норм[ред.ред. код]

Нехай \|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2 — дві норми визначені на одному і тому ж просторі \!V. Якщо існує таке дійсне C>0, що \|v\|_1\leq C\|v\|_2 для будь-якого v\in V, то норма \|\cdot\|_1 називається підпорядкованою нормі \|\cdot\|_2. Якщо водночас і норма \|\cdot\|_2 підпорядкована нормі \|\cdot\|_1, то такі дві норми називаються еквівалентними.