Норма (математика)

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми

Нормою у векторному просторі $\!V$ над полем $\mathbb{K}$ називають відображення $\|\cdot\|:V\rightarrow\mathbb{R},$ що задовольняє наступним умовам:

1. $\|v\| \geq 0,\quad \|v\|=0$ тільки при $v =\vec{0}$ (невід'ємність)
2. $\|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad$ де $r\in\mathbb{K}$ — скаляр (однорідність)
3. $\|u+v\|\,\le\,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості

За допомогою норми $\|\cdot\|,$ векторний простір $V$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань $d(u,v)=\|u-v\|.$ Зазначимо, що для будь-яких $u,v,w\in V$ виконується $d(u+w,v+w)=d(u,v),$ метрики на векторному просторі $V$ з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір $V$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли $V$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми

З геометричної точки зору, задання норми на $V$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі $B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору $V,$ що містить нульовий вектор $\vec{0}$ серед своїх внутрішніх точок.

Приклади

Евклідова норма

Нехай $V=\mathbb{R}^n$ — це $n$-вимірний коордінатний векторний простір. Евклідова норма на $V$ визначається за формулою $\|u\|=\sqrt{(u,u)},$ де $(u,v)=\sum_{i=1}^n u_i v_i$ — це стандартний скалярний добуток на $\mathbb{R}^n.$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у $\mathbb{R}^n.$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

sup норма

Нехай $V=\mathbb{R}^n,$ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\operatorname{sup}_{i=1}^n |u_i|$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб $\{u\in\mathbb{R}^n:|u_i|\leq 1, 1\leq i\leq n\},$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між $-1$ і $1.$

Манхетенська норма

Нехай $V=\mathbb{R}^n,$ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\sum_{i=1}^n|u_i|.$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом $n$-вимірного простору полярним до $n$-вимірного куба.

Еквівалентність норм

Нехай $\|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі $\!V$. Якщо існує таке дійсне $C>0,$ що $\|v\|_1\leq C\|v\|_2$ для будь-якого $v\in V,$ то норма $\|\cdot\|_1$ називається підпорядкованою нормі $\|\cdot\|_2.$ Якщо водночас і норма $\|\cdot\|_2$ підпорядкована нормі $\|\cdot\|_1$, то такі дві норми називаються еквівалентними.