Норма (теорія полів)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Но́рма — відображення елементів скінченного розширення L поля K в початкове поле K, що визначене таким чином:

Якщо L/Kскінченне розширення (воно буде алгебраїчним розширенням) степеня n=[L:K]; тоді довільний елемент aL визначає лінійне перетворення L:

\ x \mapsto ax.

Цьому перетворенню в деякому базисі e1,e2...en відповідає матриця A:

(αe1, αe2 ... αen)=(e1,e2...en)*A. Визначник цієї матриці називається нормою елементу α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC-1 з тим же визначником det(A)=det(A'), то норма не залежить від вибраного базису. Вона позначається N_{L/K}(a).

Властивості норми[ред.ред. код]

\ N_{L/K}\colon L^\times\to K^\times.
  • Для полів M/L/K маємо:
\ N_{M/K}(a) = N_{L/K}(N_{M/L}(a)) (транзитивність норми)

Вираз норми через гомоморфізми L над K[ред.ред. код]

Нехай σ12...σm — всі гомоморфізми L в алгебраїчне замикання поля K, що залишають нерухомими всі елементи K. Якщо L є сепарабельним то m рівне степеню [L:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

N_{L/K}(a)=\prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)}\sigma(a).

Якщо L є несепарабельним тобто m≠n — степені [L:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p.

Тоді

N_{L/K}(a) = \left(\,\prod_{i = 1}^{m} \sigma_{i} (a)\right)^{\frac{n}{m}}

Приклад[ред.ред. код]

  • Нехай \R — поле дійсних чисел, \C — поле комплексних чисел, що розглядається як розширення \R. Тоді норма елементу a+bi буде рівна a²+b²
  • Норма елементів розширення поля \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q задається так:
a+b\sqrt2\mapsto a^2-2b^2 für a,b\in\mathbb Q.
  • Норма елементів розширення поля \mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q задається так:
x\mapsto x^{1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}}.

Література[ред.ред. код]