Нормована алгебра з діленням

Нормована алгебра з діленням — це така алгебра з діленням $\ \mathcal{A}$ над полем дійсних чи комплексних чисел яка одночасно є нормованим векторним простором з нормою || · ||, що задовільняє наступну умову:

$\|xy\| = \|x\| \|y\| \quad \forall x,y \in \mathcal{A}.$

Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме:

• алгебра дійсних чисел $\mathbb{R},$
• алгебра комплексних чисел $\mathbb{C},$
• алгебра кватерніонів $\mathbb{Q},$
• алгебра октав $\mathbb{O}.$

Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.

Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.

Композитні алгебри

Нормовані алгебри з діленням є частковим випадком композитних алгебр. Які є алгебрами з одиницею та з мультиплікативною квадратичною формою.

Композитна алгебра не завжди є алгеброю з діленням, вона може мати дільники нуля.

Над полем дійсних чисел композитними алгебрами є також:

• алгебра спліт-комплексних чисел,
• алгебра спліт-кватерніонів,
• алгебра спліт-октав.

Дивись також

• Процедура Келі-Діксона
• Двовимірні гіперкомплексні системи

Джерела

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.