Ніде не щільна множина

В топології множина $A$ топологічного простору $(X, \tau)$ називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою:

$\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset$.

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору $X$.

Лема

Множина $A\subseteq X$ є ніде не щільною в $X$ тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині $U$ можна знайти непусту відкриту множину $V$, що не перетинається з $A$ (тобто $V\subseteq U\setminus A$).

Властивості

• Сім'я ${\rm NWD}(X)$ всіх ніде не щільних множин простору $X$ утворюють ідеал підмножин $X$, тобто

якщо $A,B\in {\rm NWD}(X)$, то $A\cup B\in {\rm NWD}(X)$,

якщо $A\in {\rm NWD}(X)$ і $B\subseteq A$, то $B\in {\rm NWD}(X)$,

$X\notin {\rm NWD}(X)$.

• Якщо $A\subseteq Y\subseteq X$ і $A$ є ніде не щільною в $Y$ ( $A\in {\rm NWD}(Y)$ де топологія в $Y$ успадкована від $X$), тоді $A\in {\rm NWD}(X)$.
• Нехай $A\subseteq Y\subseteq X$ і $Y$ щільною підмножиною в $X$. Тоді $A\in {\rm NWD}(X)$ тоді і тільки тоді коли $A\in {\rm NWD}(Y)$.
• Множина $A$ є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.
• Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Див. також

• Множина першої категорії
• Щільна множина

Література

• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968