Нільпотентна група

Нільпотентна група – в абстрактній алгебрі вид груп, що узагальнюють абелеві групи. Широко застосовується в теорії Галуа, теорії груп Лі і при класифікації скінченних груп.

Визначення

Група $G$ називається нільпотентною, якщо існує ряд нормальних підгруп $\{e\}=G_0\leqslant G_1\leqslant G_2 \ldots \leqslant G_n=G$, такий що:

1. $G_i\triangleleft G,\; i=0,\ldots,n$
2. Факторгрупи $G_{i+1}/G_{i}$ є підгрупами центру $Z(G/G_{i})$ для $i = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Цей ряд називається центральним рядом групи $G$. Найменше $n$ для якого група $G$ є нільпотентна, називається степенем нільпотентності і позначається $\operatorname{nil}\;G$.

Властивості

• Довільна абелева група є нільпотентною.
• Скінченні нільпотентні групи вичерпуються прямими добутками p-груп.
• Скінченно породжені нільпотентні групи є поліциклічними групами, більше того, вони мають центральний ряд з циклічними факторами.

Джерела

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.