Нільпотентний елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нільпотентный елемент або нільпотент — елемент a кільця, що задовольняє рівності a^n=0 для деякого натурального n. Мінімальне значення n, для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу a.

Приклади[ред.ред. код]

\begin{pmatrix} 
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
є нільпотентом індексу 2 у кільці 2\times 2-матриць.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо a — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:
1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}),
тобто елемент (1-a) оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від a.
  • Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.
Нехай P\; деяке кільце, a x, y \in P два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай m, n \in \mathbb{N} такі, що x^m = 0\; і y^n = 0\;. З комутативності x\; і y\; можна використати формулу бінома Ньютона для (x + y)^{m + n}\;:
(x + y)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} \binom{m + n}{k} x^{k} y^{m + n - k}
При 0 \leqslant k < m\; маємо m + n - k > n\;, тоді y^{m + n - k} = 0\; і доданки, що відповідають тим індексам k\; рівні нулю. Однак при k \geqslant m\;, одержується x^k = 0\;. Тобто всі доданки є нульовими і x + y\; є нільпотентним елементом.
  • Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал J, що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце A/J\, вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.
В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо r \in R — деякий елемент кільця і a \in J — елемент нільрадикалу такий, що a^n=0\,, тоді (ar)^n=a^nr^n=0\, тобто ar \in J, що доводить твердження. Доведення того, що ніль радикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».
  • При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0