Нільпотентний елемент

Нільпотентный елемент або нільпотент — елемент $a$ кільця, що задовольняє рівності $a^n=0$ для деякого натурального $n$. Мінімальне значення $n$, для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу $a$.

Приклади

• У кільці лишків за модулем $p^n$, де $p$ — деяке просте число, клас лишків числа $p$ — нільпотент індексу $n$,
• Матриця

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

є нільпотентом індексу $2$ у кільці $2\times 2$-матриць.

Властивості

• Якщо $a$ — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:

$1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1})$,

тобто елемент $(1-a)$ оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від $a$.

• Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.

Нехай $P\;$ деяке кільце, a $x, y \in P$ два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай $m, n \in \mathbb{N}$ такі, що $x^m = 0\;$ і $y^n = 0\;$. З комутативності $x\;$ і $y\;$ можна використати формулу бінома Ньютона для $(x + y)^{m + n}\;$:

$(x + y)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} \binom{m + n}{k} x^{k} y^{m + n - k}$

При $0 \leqslant k < m\;$ маємо $m + n - k > n\;$, тоді $y^{m + n - k} = 0\;$ і доданки, що відповідають тим індексам $k\;$ рівні нулю. Однак при $k \geqslant m\;$, одержується $x^k = 0\;$. Тобто всі доданки є нульовими і $x + y\;$ є нільпотентним елементом.

• Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал $J$, що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце $A/J\,$ вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.

В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо $r \in R$ — деякий елемент кільця і $a \in J$ — елемент нільрадикалу такий, що $a^n=0\,$, тоді $(ar)^n=a^nr^n=0\,$ тобто $ar \in J$, що доводить твердження. Доведення того, що ніль радикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».

• При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.

Див. також

• Нільпотентний ідеал

Література

• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0