Об'єднання множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

$A\cup B\!$ об'єднання
$A\cap B\!$ перетин

$A\triangle B\!$ симетрична різниця
$A\times B\!$ декартів добуток

В математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

[ред.] Базові визначення

Об'єднання множин A та B

Якщо A та B - множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як "A∪B".

Формально:

x є елементом A∪B тоді й тільки тоді, коли

x є елементом A або
x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

[ред.] Алгебраїчні властивості

Бінарна операція об'єднання є :

асоціативною, тобто A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A∪B∪C);

комутативною, тобто A∪B = B∪A (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

[ред.] Об'єднання довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо M - множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

$x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.$