Обгортка (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Обвідна)
Перейти до: навігація, пошук
Обгортка сімейства дотичних прямих.

Обгортка сімейства кривих на площині — це крива, що в кожній своїй точці є дотичною хоча б до однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком дотична до нескінченної кількості кривих сімейства[1]. Наприклад, будь-яка гладка крива, що не містить прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай є сімейство гладких кривих S=\{\gamma_\alpha\}, залежне від параметру \alpha. Гладка крива \gamma\in C^1 буде обвідною сімейства S, якщо:[2][1]

  1. для кожної точки кривої \gamma відповідає крива \gamma_\alpha\in S, дотична до \gamma в цій точці,
  2. для кожної кривої \gamma_\alpha\in S відповідає точка на \gamma, в якій \gamma_\alpha дотична до \gamma,
  3. жодна крива сімейства S не має спільного відрізка з кривою \gamma.

Якщо сімейство кривих задано рівнянням F(x,y,\alpha) = 0. Тоді обгортка сімейства кривих визначається системою

\left\{
   \begin{array}{ll}
     F( x, y,\alpha)& = 0 \\
   F_\alpha( x, y,\alpha) &= 0
   \end{array}
 \right.

Приклади[ред.ред. код]

  • Для сімейства кіл однакового радіуса з центрами на прямій обвідна — це дві паралельні прямі.
  • Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
  • Парабола є обвідною сімейства серединних перпендикулярів для відрізків, що з'єднують фіксовану точку (фокус параболи) та фіксовану пряму (директрису параболи).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Погорєлов О. В. (1974). Диференціальна геометрія (вид. 6). М.: Наука. с. 42. ISBN 5-93972-068-4. 
  2. Борисенко, О. А. (1995). Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. Харків: Основа. с. 61. ISBN 5-7768-0388-8. 

Посилання[ред.ред. код]