Обговорення:Радикальна ознака Коші

Дополнение к статье "Радикальна ознака Кошi"

$~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \ \ \land \ \ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\ \ \land \ \ \exists _{d\ \in \ (0,1)}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ n\ >\ N}\ ({\sqrt[{n}]{a_{n}}}<d)\to (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R}$

$~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (0,1)\quad \to \quad (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R}$

$~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (1,\infty )\quad \to \quad \lim _{n\to \infty }(\sum _{i=0}^{n}a_{i})=\infty$

Примечание

Две предыдущие теоремы можно соединить в одну [теорему], а именно:

$~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \to$

$~(\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (0,1)\ \to \ (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R} )\quad \land \quad (\lim _{n\to n}{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (1,\infty )\ \to \ \lim _{n\to \infty }(\sum _{i=0}^{n}a_{i})=\infty )$

Галактион 20:47, 15 серпня 2009 (UTC)