Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається $\ A^{-1}$), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці$\ A$, розмірності $\ n\times n$, причому:

$\ A A^{-1} = A^{-1}A = I_n$

де $\ I_n$ одинична $\ n\times n$ матриця.

Якщо для матриці $\ A$ існує $\ A^{-1}$, то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

• $(\mathbf{A}^{-1})^{-1} = \mathbf{A}$ — операція обернення є інволюцією.
• $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T}$ — обернення транспонованої матриці
• $(\mathbf{A}^*)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^*$ — обернення спряженої матриці
• $(k\mathbf{A})^{-1} = k^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ для довільного коефіцієнта $k\not=0.$
• $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$
• $\det(\mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A})^{-1}$ — визначник оберненої матриці.
• $\operatorname{rank} (A) = n$ — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
• Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
• Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь $Ax=b$, (b — ненульовий вектор) і $A^{-1}$ існує, тоді $x=A^{-1} b$. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

• Метод Гауса — Жордана
• LU розклад матриці
• ${A}^{-1}= \frac{1}{det(A)}\tilde{A}$

де $\tilde{A}$ — союзна матриця.

Ітераційні методи

...

Приклади

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.$

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли $ad - bc = \det A \neq 0$.

Див. також

• Теорія матриць
• Псевдообернена матриця
• Обернення блочної матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.