Обернений елемент

Обернений елемент — одне з понятть абстрактної алгебри.

Визначення

• Нехай $(M,\cdot)$ — множина $M$ з визначеною на ній бінарною операцією $\cdot$. Нехай $x \in M$ — довільний елемент множини $M$. Якщо справедливе рівняння

$x \cdot y = e,$

де $y \in M$, а $e \in M$ — нейтральний елемент відносно операції $\cdot$, тоді $y$ називається правим оберненим щодо $x$.

• Аналогічним чином, якщо виконується:

$y \cdot x = e,$

тоді $y$ називається лівим оберненим до $x$.

• Елемент $y\in M$, що є правим і лівим оберненим до $x$, себто такий, що:

$x \cdot y = y \cdot x = e,$

називається просто оберененим щодо $x$ і позначається $x^{-1}$.

• Елемент, для якого існує обернений елемент, називається оборотним.

Зауваження

• Наведене вище визначення дане в мультипликативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація $(M,+)$, тоді оборотний елемент називається протилежним і позначається $-x$.
• Взагалі кажучи, один і той самий елемент $x\in M$ може мати декілька правих обернених і декілька лівих обернених елементів і вони не зобов'язані перетинатися.

Властивості

• Нехай операція $\cdot$ асоціативна. Тоді якщо для елемента $x\in M$ визначені ліві і праві обернені, то вони рівні і єдині.

Приклади

Множина	Бінарна операція	Оборотний елемент
Дійсні числа	$+$ (сума)	$\ -x$
Дійсні числа, що не дорівнюють нулю	$\cdot$ (множення)	$\ 1/x$
Функції виду $\ f:M\to M$	$\circ$ (композиція функцій)	$\ f^{-1}$ (обернена функція)

Див. також

• Група