Обертання (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Обертання об'єкта на площині навколо точки O.

В геометрії та лінійній алгебрі, обертання — рух, який зберігає орієнтацію простору (площини) та має нерухомі точки.

Обертання відрізняється від паралельного перенесення, який не має нерухомої точки, але зберігає орієнтацію. Також відрізняється від відбиття, яке змінює орієнтацію, хоч і має нерухомі точки. Обертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками.

В двовимірному просторі[ред.ред. код]

Пласке обертання навколо точки після попереднього обертання в результаті дає або обертання (як на малюнку), або паралельне перенесення.
Відбиття відносно осі після відбиття відносно іншої не паралельної першій осі дає в результаті обертання навколо точки перетину осей.

Достатньо одного кута для визначення обертання на площині - кута обертання. Для обчислення обертання можна використовувати один з двох методів, або матричну алгебру, або комплексні числа.

Матрична алгебра[ред.ред. код]

Для проведення обертання з використанням матриць, точку (x, y) записують у вигляді вектора, потім множать на матрицю від кута \theta, схожу на:

 \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

(x', y') координати точки після обертання, x' і y' можуть бути записані так:

\left\{\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}\right.

Вектори  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} і  \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} мають один і той самий розмір і відокремлені кутом  \theta , як і очікувалось.

Комплексні числа[ред.ред. код]

Точку також можна обертати за допомогою комплексних чисел. Множина всіх цих чисел, комплексна площина, геометрично являє собою двовимірну площину. Точка (x, y) на площині представлена комплексним числом

 z = x + iy \,

Обертання точки на кут \theta можна здійснити множенням  e^{i \theta} , розгорнемо формулу використавши формулу Ейлера:

\begin{align}
e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\
               &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\
               &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\
               &= x' + i y' ,
\end{align}

що нам дає такий самий як і раніше результат,

\left\{
\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}
\right.

Як і комплексні числа обертання в двовимірному просторі комутативні, на відміну від більш високих вимірів. Вони мають тільки одну ступінь свободи, тобто обертання однозначно визначено кутом обертання.[1]

В тривимірному просторі[ред.ред. код]

Обертання в звичайному тривимірному просторі значно відрізняється від двовимірного обертання. Таке обертання, як правило, не комутативне, тобто порядок застосування обертань важливий. Вони мають три ступеня свободи, так само як і розмірність простору.

Тривимірне обертання може бути визначене багатьма способами. Найпопулярніші з них такі:

Матрична алгебра[ред.ред. код]

Докладніше: Матриця повороту

Матриця використовується для переведення точки (x, y, z) в (x′, y′, z′). Розмір матриці 3 × 3:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}

Для отримання результату множимо матрицю на вектор, що представляє початкову точку


 \mathbf{A}
 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}

Матриця \mathbf{A} є елементом тривимірної ортогональної групи, SO(3), це ортогональна матриця з визначником 1. Через ортогональність рядки матриці є набором ортогональних одиничних векторів (тобто вони є ортонормованим базисом), так само як і стовпці, що полегшує перевірку, чи дійсно це матриця обертання. Якщо ж визначник −1 (матрична група O(3), \det{A} = \pm 1), тоді перетворення буде відбиттям або невласним перетворенням.

Матриці часто використовують для перетворень, особливо коли мова йде про велику кількість точок, через те що вони є прямим представленням лінійного відображення. Обертання представленні іншим чином часто переводяться в матричне представлення. Вони можуть бути розширені для представлення обертань і перетворень в однорідних координатах. Перетворення в проективному просторі представленні матрицею 4 х 4, яка не є матрицею обертання, але яке має її в своєму верхньому лівому куті.

Найбільший мінус у використанні матриць — велика кількість обчислень. Особливо це відчувається в системах де числова стійкість дуже важлива.

Ейлерові кути[ред.ред. код]

Крен, Тангаж і Рискання - основні осі обертання в просторі.
Докладніше: Ейлерові кути

Один з варіантів узагальнення двовимірного кута це визначення трьох кутів обертання, здійснюючих обертання навколо трьох головних осей. В аеродинаміці вони називаються Крен, Тангаж і Рискання, а в математиці використовують термін Ейлеровими кутами. Вони мають переваги при моделюванні таких фізичних систем як джойстик, вони легко візуалізуються, і це дуже компактний спосіб зберігати інформацію про обертання. Але їх важко використовувати в обчисленнях через те, що навіть такі прості операції, як комбінування обертань, дуже дорогі, також для деяких обертань неможливо обчислити єдиний вірний варіант трьох кутів.

Кватерніони[ред.ред. код]

Кватерніон обертання складається з чотирьох чисел, його довжина вважається рівною 1. Це обмежує кількість ступенів свободи трьома ступенями. Кватерніони можна розглядати як узагальнення поняття комплексних чисел, як приклад процедура Келі-Діксона, вони породжують обертання через множення. Але на відміну від матриць і комплексних чисел два множення потрібні:

 \mathbf{x' = qxq^{-1}}

В чотиривимірному просторі[ред.ред. код]

Узагальнення[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Lounesto 2001, p.30.