Обертання (математика)

Обертання об'єкта на площині навколо точки $O.$

В геометрії та лінійній алгебрі, обертання — перетворення на площині або в просторі,яке описує рух абсолютно твердого тіла навколо фіксованої точки. Обертання відрізняється від паралельного перенесення, який не має фіксованої точки, і також від відбиття, яке перевертає тіла. Обертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками.

В двовимірному просторі

Пласке обертання навколо точки після пепереднього обертання в результаті дає або обертання (як на малюнку), або паралельне перенесення.

Відбиття відносно осі після відбиття відносно іншої не паралельної першій осі дає в результаті обертання навколо точки перетину осей.

Достатньо одного кута для визначення обертання на площині - кута обертання. Для обчилення обертання можна використовувати один з двох методів, або матричну алгебру, або комплексні числа.

Матрична алгебра

Для проведення обертання з використанням матриць, точку $(x, y)$ записують у вигляді вектора, потім множать на матрицю від кута $\theta$, схожу на:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$.

$(x', y')$ координати точки після обертання, $x'$ і $y'$ можуть бути записані так:

$\begin{align} x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$

Вектори $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ і $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ мають один і той самий розмір і відокремлені кутом $\theta$, як і очікувалось.

Комплексні числа

Точку також можна обертати за допомогою комплексних чисел. Множина всіх цих чисел, комплексна площина, геометрично представляє собою двовимірну площину. Точка $(x, y)$ на площині представлена комплексним числом

$z = x + iy \,$

Обертання точки на кут $\theta$ можна здійснити множенням $e^{i \theta}$, розгорнемо формулу використавши формулу Ейлера:

$\begin{align} e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\ &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\ &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\ &= x' + i y' , \end{align}$

що нам дає такий самий як і раніше результат,

$\begin{align} x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$

Як і комплексні числа обертання в двовимірному просторі комутативні, на відміну від більш високих вимірів. Вони мають тільки одну ступінь свободи, тобто обертання однозначно визначено кутом обертання.

В тривимірному просторі

Обертання в звичайному тривимірному просторі значно відрізняється від двовимірного обертання. Таке обертання, як правило, не комутативне, тобто порядок застосування обертань важливий. Вони мають три ступеня свободи, так само як і розмірність простору.

Тривимірне обертання може бути визначене багатьма способами. Найпопулярніші з них такі:

Матрична алгебра

Матриця використовується для переведення точки (x, y, z) в (x′, y′, z′). Розмір матриці 3 × 3 matrix,

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Для отриманя результату множимо матрицю на вектор, що представляє початкову точку

$\mathbf{A} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

Матриця $\mathbf{A}$ є членом тривимірної ортогональної групи, SO(3), це ортогональна матриця з визначником 1. Через ортогональність рядки матриці є набором ортогональних одиничних векторів (тобто вони є ортонормованим базисом), так само яе і стовпці, що полегшує перевірку, чи дійсно це матриця обертання. Якщо ж визначник -1 (друге можливе значення для ортогональної матриці), тоді перетворенням буде відбиття, невласне обертання та інші.

Матриці часто використовують для перетворень, особливо коли мова йде про велику кількіть точек, через те що вони є прямим представленням лінійного відображення. Обартення представленні іншим чином часто переводяться в матричне представлення. Вони можуть бути розширені для предсталення обератнь і перетворень в однорідних координатах. Перетворення в проективному просторі представленні матрицею 4 х 4, яка не є матрицею обертання, але яке має її в своєму верхньому лівому куті.

Найбільший мінус у використанні матриць - велика кількість обчилень. Особливо це відчувається в системах де числова стійкість викликає хвилювання.

Ейлерові кути

Крен, Тангаж і Рискання - основні осі обертання в просторі.

Один з варіантів узагальнення двовимірного кута це визначення трьох кутів обертання, здійснюючих обертання навколо трьох головних осей. В аеродинаміці вони називаються Крен, Тангаж і Рискання, а в математиці використовують термін Ейлеровими кутами. Вони мають переваги при моделюванні таких фізичних систем як джойстик, вони легко візуалізуються, і це дуже компактний спосіб зберігати інформацію про обертання. Але їх важко використовувати в обчисленнях через те, що навіть такі прості операції як кобінування обертань дуже дорогі, також для деяких обертань неможливо обчислити єдиний вірний варіант трьох кутів.

Квартерніони

Квартерніон обертання складається з чотирьох чисел, його довжина вважається рівною 1. Це обмежує кількість ступенів свободи трьома ступенями. Квартерніони можна розглядати якузагальнення поняття комплексних чисел, як приклад процедура Келі-Діксона, вони породжують обертання через множення. Але навідміну від матриць і комплексних чисел два множення потрібні:

$\mathbf{x' = qxq^{-1}}$

Література

• Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5514-8. 
• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.