Область цілісності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.

Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал {0} є простим.

Приклади[ред.ред. код]

  • Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел \Z.
  • Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
  • Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце \Z[x] многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце \R[x,y] многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
  • Множина дійсних чисел виду a+b\sqrt{2} є підкільцем поля \R, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду a+bi, де a і b цілі.
  • Нехай Uзв'язна відкрита підмножина комплексної площини \C. Тоді кільце H(U) всіх голоморфних функцій f:U\rightarrow\C буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
  • Якщо K — комутативне кільце, а I — ідеал в K, то фактор-кільце K/I цілісне тоді і тільки тоді, коли I — простий ідеал.
  • Кільце p-адичних цілих чисел.

Подільність, прості незвідні елементи[ред.ред. код]

Нехай a і b - елементи цілісного кільця K. Говорять, що «a ділить b» або «a - дільник b» (і пишуть a\mid b), якщо і тільки якщо існує елемент x\in K такий, що ax=b.

Подільність транзитивна: якщо a ділить b і b ділить c, то a ділить c. Якщо a ділить b і c, то a ділить також їх суму b+c і різниця b-c.

Для кільця K з одиницею елементи a\in K, які ділять 1, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи а і b називаються асоційованими, якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли a=b*e, де e — оборотний елемент.

Ненульовий елемент q, що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент p називається простим, якщо з того, що p\mid ab, слідує p\mid a або p\mid b. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці \Z, проте враховує і негативні прості числа. Якщо p — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал (p) буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
    • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
  • Якщо A — область цілісності, те кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над A також будуть областями цілісності.
  • Якщо A — комутативне кільце з одиницею і I — деякий ідеал A, то кільце A/I є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал I є простим.
  • Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
  • Прямий добуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
  • Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
  • Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література[ред.ред. код]

  • Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7. 
  • Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
  • Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
  • Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415