Обмежена множина

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина

Множина дійсних чисел $X \subset \mathbb{R}$ називається обмеженою зверху, якщо існує число $b$, таке що всі елементи $X$ не перевищують $b$:

$\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)$

Множина дійсних чисел $X \subset \mathbb{R}$ називається обмеженою знизу, якщо існує число $b$, таке що всі елементи $X$ не менше $b$: $\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)$

Множина $X \subset \mathbb{R}$, обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина $X \subset \mathbb{R}$, що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді і тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок $[a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\}$,

необмеженої — множина всіх цілих чисел $\mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$,

обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь $x < 0$,

обмеженої знизу, але необмеженої зверху— промінь $x > 0$.

Варіації та узагальнення

Обмежена множина у метричному просторі

Нехай $(X, \rho)$ — метричний простір. Множина $M \subset X$ називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій кулі $B_r(a)$:

$\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)$

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху і обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай $(P, \leqslant)$ — частково впорядкована множина, $S \subset P$. Множена $S$ називається обмеженою зверху, якщо

$\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)$

обмеженою знизу, якщо

$\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \geqslant b)$

Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою.

Див. також

• Супремум
• Інфімум