Обмежена множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина[ред.ред. код]

Множина дійсних чисел X \subset \mathbb{R} називається обмеженою зверху, якщо існує число b, таке що всі елементи X не перевищують b:


\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)

Множина дійсних чисел X \subset \mathbb{R} називається обмеженою знизу, якщо існує число b, таке що всі елементи X не менше b: 
\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)

Множина X \subset \mathbb{R}, обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина X \subset \mathbb{R}, що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді і тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок [a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\},

необмеженої — множина всіх цілих чисел \mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\},
обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь x < 0,
обмеженої знизу, але необмеженої зверху— промінь x > 0.

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Обмежена множина у метричному просторі[ред.ред. код]

Нехай (X, \rho) — метричний простір. Множина M \subset X називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій кулі B_r(a):


\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху і обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині[ред.ред. код]

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай (P, \leqslant) — частково впорядкована множина, S \subset P. Множена S називається обмеженою зверху, якщо


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)

обмеженою знизу, якщо


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \geqslant b)

Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою.

Див. також[ред.ред. код]