Оболонкова модель ядра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Оболо́нкова моде́ль ядра́ — модель ядра атома, в якій нуклони: протони і нейтрони розглядаються як [квант]ові частинки, що рухаються в самоузгодженому центральному потенціалі й мають дискретний енергетичний спектр, подібний до спектру електронів у атомі. Використовуючи принцип Паулі, модель пояснює існування так званих магічних ядер.

Оболонкова модель була незалежно розроблена Марією Гепперт-Маєр та Гансом Єнсеном у 1949, за що вони отримали Нобелівську премію за 1963.

У рамках моделі нуклони рухаються в центральному потенціалі ядра. Вважається, що вони не взаємодіють між собою. Для правильного опису руху потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію. В якості потенціалу вибирається потенціал тривимірного гармонічного осцилятора або потенціал Вудса-Саксона.

Математична модель[ред.ред. код]

Ядро із масовим числом A і зарядовим числом Z загалом описується гамільтоніаном

 \hat{H} = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + \sum_{k<j} V_{kj}(\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j) ,

де M — маса нуклона,  \hbar  — зведена стала Планка,  \Delta_k  — оператор Лапласа для координат k-го нуклона,  V_{kj}  — потенціал сильної взаємодії між нуколонами, загалом невідомий.

Оскільки задача знаходження енергетичного спектру гамільтоніана з A частинками, де A може буде доволі великим, нереальна, в оболонковій моделі цей гамільтоніан заміняється наближеним, в якому на кожен нуклон діє центральний потенціал:

 \hat{H}_0 = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + V(\mathbf{r}_k) .

Якщо використати у якості центрального потенціалу V(r) — гармонічний потенціал:

 V(r) =  \frac{M\omega^2}{2}r^2 ,

де  \omega  — параметр із розмірністю частоти, то кожен нуклон буде описуватися тривимірним гармонічним осцилятором. Спектр одночастинкових збуджень однаковий для всіх нуклонів, однако розраховані рівні повинні заповнюватися з врахуванням принципа Паулі, окремо для протонів та нейтронів. Враховуючи виродженість станів тривимірного гармонічного осцилятора, а також два можливі спінові стани для кожного з нуклонів, число нуклонів на кожній оболонці буде:

2, 6, 12, 20, 30, 42

що дає магічні числа

2, 8, 20, 40, 70, 112.

Тільки три перші з них правильні, тобто збігаються із експериментальними.

Для покращення моделі потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію, яка для нуклонів у ядрі набагато більша від спін-орбітальної взаємодії електронів в атомі. При врахуванні спін-орбітальної взаємодії гамільтоніан записується у вигляді

 \hat{H}_0 = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + V(\mathbf{r}_k) + f_{ls}(r_k) (\hat{\mathbf{l}}_k \cdot \hat{\mathbf{s}}_k) ,

де  \hat{\mathbf{l}}_k  — оператор орбітального моменту нуклона, а  \hat{\mathbf{s}}_k  — оператор спіна нуклона.

Спін-орбітальна взаємодія приводить до того, що нуклон притягується до ядра сильніше, коли його спін і орбітальний момент паралельні, і слабше, коли вони антипаралельні. Виродження за орбітальним моментом знімається і рівні нуклонів розщеплюються. Це розщеплення може бути значним і призвести до перегрупування рівнів.

Однонуклонний стан характеризується чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n, орбітальним квантовим числом l, квантовим числом повного моменту j та магнітним квантовим числом повного моменту  m_j . В поданій нижче таблиці стани згруповані за енергетичним квантовим числом N = 2(n-1) + l . Кількість станів у кожній групі дається числом  2g_N +2 . Наведено також число нейтронів, які можуть бути в кожній групі —  \bar{N}_n(N)  . Для протонів потрібно враховувати додаткову кулонівську взаємодію, тому числа дещо інші.

N 0 1 2 3 4 5 6
l 0 1 2;0 3;1 4;2;0 5;3;1 6;4;2;0
j  \frac{1}{2}  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}  \frac{5}{2} ,  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}  \frac{7}{2} ,  \frac{5}{2} ,  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}  \frac{9}{2} ,  \frac{7}{2} ,  \frac{5}{2} ,  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}  \frac{11}{2} ,  \frac{9}{2} ,  \frac{7}{2} ,  \frac{5}{2} ,  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}  \frac{13}{2} ,  \frac{11}{2} ,  \frac{9}{2} ,  \frac{7}{2} ,  \frac{5}{2} ,  \frac{3}{2} ,  \frac{1}{2}
 2 g_N + 2 6 8 14 22 32 44 58
 \bar{N}_n(N)  6 14 28 50 82 126 184

Підсумовуючи приведені в таблиці результати, ряд магічних чисел набирає вигляду

2, 8, (14), 20, 28, 40, 50, 82, (114)p, 126, (186)n.

У дужках вказані «напівмагічні» числа, для яких магічні властивості, тобто особлива стабільність, виражені слабо. Індексами позначені магічні числа тільки щодо числа протонів або нейтронів. Загалом, теорія узгоджується з експериментом.

Подальший розвиток[ред.ред. код]

У міру подальшого нагромадження експериментальних даних про властивості атомних ядер з'являлися нові факти, які не завжди вкладалися в рамки описаних моделей. Так виникли узагальнена модель ядра (синтез краплинної й оболонковбї моделей), оптична модель ядра (пояснює взаємодію ядер із частинками, що налітають) та інші.

Джерела[ред.ред. код]

  • Булавін Л. А., Тартаковський В. К. Ядерна фізика. — Знання. — Київ: ВТД «Університетська книга», 2005. — 439 с. — ISBN 966-346-020-2.
  • Гепперт-Майер М., Йенсен И., Элементарная теория ядерных оболочек, Иностранная литература, М., 1958.

Див. також[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.