Оболонкова модель ядра

Оболо́нкова моде́ль ядра́ — модель ядра атома, в якій нуклони: протони і нейтрони розглядаються як квантові частинки, що рухаються в самоузгодженому центральному потенціалі й мають дискретний енергетичний спектр, подібний до спектру електронів у атомі. Використовуючи принцип Паулі, модель пояснює існування так званих магічних ядер.

Оболонкова модель була незалежно розроблена Марією Гепперт-Маєр та Гансом Єнсеном у 1949, за що вони отримали Нобелівську премію за 1963.

У рамках моделі нуклони рухаються в центральному потенціалі ядра. Вважається, що вони не взаємодіють між собою. Для правильного опису руху потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію. В якості потенціалу вибирається потенціал тривимірного гармонічного осцилятора або потенціал Вудса-Саксона.

Математична модель

Ядро із масовим числом A і зарядовим числом Z загалом описується гамільтоніаном

$\hat{H} = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + \sum_{k<j} V_{kj}(\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j)$ ,

де M - маса нуклона, $\hbar$ - зведена стала Планка, $\Delta_k$ - оператор Лапласа для координат k-го нуклона, $V_{kj}$ - потенціал сильної взаємодії між нуколонами, загалом невідомий.

Оскільки задача знаходження енергетичного спектру гамільтоніана з A частинками, де A може буде доволі великим, нереальна, в оболонковій моделі цей гамільтоніан заміняється наближеним, в якому на кожен нуклон діє центральний потенціал:

$\hat{H}_0 = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + V(\mathbf{r}_k)$.

Якщо використати у якості центрального потенціалу V(r) - гармонічний потенціал:

$V(r) = \frac{M\omega^2}{2}r^2$,

де $\omega$ - параметр із розмірністю частоти, то кожен нуклон буде описуватися тривимірним гармонічним осцилятором. Спектр одночастинкових збуджень однаковий для всіх нуклонів, однако розраховані рівні повинні заповнюватися з врахуванням принципа Паулі, окремо для протонів та нейтронів. Враховуючи виродженість станів тривимірного гармонічного осцилятора, а також два можливі спінові стани для кожного з нуклонів, число нуклонів на кожній оболонці буде:

2, 6, 12, 20, 30, 42

що дає магічні числа

2, 8, 20, 40, 70, 112.

Тільки три перші з них правильні, тобто збігаються із експериментальними.

Для покращення моделі потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію, яка для нуклонів у ядрі набагато більша від спін-орбітальної взаємодії електронів в атомі. При врахуванні спін-орбітальної взаємодії гамільтоніан записується у вигляді

$\hat{H}_0 = \sum_{k=1}^A - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta_k + V(\mathbf{r}_k) + f_{ls}(r_k) (\hat{\mathbf{l}}_k \cdot \hat{\mathbf{s}}_k)$,

де $\hat{\mathbf{l}}_k$ - оператор орбітального моменту нуклона, а $\hat{\mathbf{s}}_k$ - оператор спіна нуклона.

Спін-орбітальна взаємодія приводить до того, що нуклон притягується до ядра сильніше, коли його спін і орбітальний момент паралельні, і слабше, коли вони антипаралельні. Виродження за орбітальним моментом знімається і рівні нуклонів розщеплюються. Це розщеплення може бути значним і призвести до перегрупування рівнів.

Однонуклонний стан характеризується чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n, орбітальним квантовим числом l, квантовим числом повного моменту j та магнітним квантовим числом повного моменту $m_j$. В поданій нижче таблиці стани згруповані за енергетичним квантовим числом $N = 2(n-1) + l$. Кількість станів у кожній групі дається числом $2g_N +2$. Наведено також число нейтронів, які можуть бути в кожній групі — $\bar{N}_n(N)$. Для протонів потрібно враховувати додаткову кулонівську взаємодію, тому числа дещо інші.

N	0	1	2	3	4	5	6
l	0	1	2;0	3;1	4;2;0	5;3;1	6;4;2;0
j	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$	$\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$	$\frac{7}{2}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$	$\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$	$\frac{11}{2}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$	$\frac{13}{2}$, $\frac{11}{2}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$
$2 g_N + 2$	6	8	14	22	32	44	58
$\bar{N}_n(N)$	6	14	28	50	82	126	184

Підсумовуючи приведені в таблиці результати, ряд магічних чисел набирає вигляду

2, 8, (14), 20, 28, 40, 50, 82, (114)_p, 126, (186)_n.

У дужках вказані «напівмагічні» числа, для яких магічні властивості, тобто особлива стабільність, виражені слабо. Індексами позначені магічні числа тільки щодо числа протонів або нейтронів. Загалом, теорія узгоджується з експериментом.

Подальший розвиток

У міру подальшого нагромадження експериментальних даних про властивості атомних ядер з'являлися нові факти, які не завжди вкладалися в рамки описаних моделей. Так виникли узагальнена модель ядра (синтез краплинної й оболонковбї моделей), оптична модель ядра (пояснює взаємодію ядер із частинками, що налітають) та інші.

Джерела

• Булавін Л.А., Тартаковський В.К. (2005). Ядерна фізика. Київ: Знання. 
• Гепперт-Майер М., Йенсен И., Элементарная теория ядерных оболочек, Иностранная литература, М., 1958.

Див. також

• Ядро атома

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.