Оборотний елемент

Оборотним елементом, а також одиницею кільця або дільником одиниці, називається будь-який елемент $\mathbf a$ кільця, для якого існує обернений елемент, тобто є такий елемент $b$, що ${\mathbf a}b=b{\mathbf a}=1$.

Множина для всіх оборотніх елементів кільця утворює мультиплікативну групу, яку називають групою одиниць або групою оборотних елементів.

Якщо $\mathbf a$ — дільник одиниці, тоді елементи ${\mathbf a}x$ і $x{\mathbf a}$ називаються асоційованими з $x$.

Зазвичай поняття дільника одиниці й асоційованого елемента вживається для областей цілісності.

Приклади

• В кільці цілих чисел два дільника одиниці: +1 и -1.
• В кільці лишків по модулю m, оборотними елементами є лишки взаємно прості з модулем m. Вони утворюють мультиплікативну групу кільця лишків.
• В кільці гаусових цілих чисел чотири дільника одиниці: $+1,\ -1,\ i,\ -i$.
• В кільці багаточленів над полем будь-який ненулевий елемент поля коефіцієнтів (як багаточлен нулевої степені) є дільником одиниці.

Джерела

• Ван дер Варден (1976). Алгебра. Москва: «Наука».