Об'єднання множин

Теоретико-множинні операції

$\overline{A} \!$ доповнення

$A\cup B\!$ об'єднання
$A\cap B\!$ перетин

$A\setminus B\!$ різниця

$A\triangle B\!$ симетрична різниця
$A\times B\!$ декартів добуток

В математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

Базові визначення

Об'єднання множин A та B

Якщо A та B - множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як "A∪B".

Формально:

x є елементом A∪B тоді й тільки тоді, коли

• x є елементом A або
• x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

Алгебраїчні властивості

Бінарна операція об'єднання є :

• асоціативною, тобто A∪(B∪C) = (A∪B)∪C   (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A∪B∪C);

• комутативною, тобто A∪B = B∪A   (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

• ідемподентною, тобто A∪A = A.

Об'єднання довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо M - множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

$x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.$

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

$\bigcup \mathbf{M},$ або $\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A.$

Остання нотація може бути узагальнена до

$\bigcup_{i\in I} A_{i},$

що відповідає операції об'єднання колекції множин {A_i : i в I}. Тут I - множина, а A_i - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.$

Також можна записати "A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ···".

Дистрибутивність об'єднання і перетину

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

$\bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}.$

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

$\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).$

Див. також

• Диз'юнкція