Об'єднання множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



У математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

Базові визначення[ред.ред. код]

Об'єднання множин A та B

Якщо A та B — множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як «AB».

Формально:

x є елементом AB тоді й тільки тоді, коли
  • x є елементом A або
  • x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

Бінарна операція об'єднання є :

  • асоціативною, тобто A∪(BC) = (AB)∪C   (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: ABC);
  • комутативною, тобто AB = BA   (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

Об'єднання довільної кількості множин[ред.ред. код]

В загальному випадку, якщо M — множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

\bigcup \mathbf{M}, або \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A.

Остання нотація може бути узагальнена до

\bigcup_{i\in I} A_{i},

що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I — множина, а Ai — множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.

Також можна записати «A1A2A3 ∪ ···».

Дистрибутивність об'єднання і перетину[ред.ред. код]

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

\bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}.

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).

Див. також[ред.ред. код]