Однорідна функція

Однорідна функція (англ. homogeneous function) ступеню $q$ — числова функція $f:\R^n\to\R$ така, що для будь-якого $\mathbf{v}\in\R^n$ та $\lambda \in\R$ виконується нерівність:

$f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*)$

причому $q$ називають порядком однорідності.

Розрізняють також

• додатно однорідні функції, для яких рівняння $(*)$ виконується тільки для додатних $\lambda$ ($\lambda > 0$)
• абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння
      $f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v})$

Властивості

1. Якщо функція $f$ є многочленом від $n$ змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню $q$ тоді і тільки тоді, коли $f$ — однорідний многочлен степеню $q$, зокрема в цьому випадку $q$ має бути цілим.
2. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:
       $f(\mathbf{0}) = 0 \qquad\qquad$
3. Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:
       $\mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v}).$
   Доводиться диференціюванням рівняння (*) по $\lambda$ при $\lambda=1$.

Див. також

• Однорідне рівняння

Посилання

• Однорідні функції на PlanetMath.(англ.)