Однорідний многочлен

Однорідний многочлен — многочлен всі одночлени якого з ненульовими коефіцієнтами мають однаковий степінь. Іншою назвою такого многочлена є алгебраїчна форма. У випадку другого степеня алгебраїчна форма називається квадратичною формою. Наприклад многочлен $x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4\,$ є однорідним степеня 5, а многочлен $x^3 + 3 x^2 y + z^7\,$ не є однорідним.

Властивості

• Многочлен $f(x_1,x_2,...,x_n)\,$ є однорідним степеня $d\,$ тоді і тільки тоді коли й $f(tx_1,tx_2,...,tx_n)=t^df(x_1,x_2,...,x_n)\,$, для всіх $t\,$ з поля над яким визначений многочлен.
• Кількість різних одночленів степеня M з N змінними рівна

$\frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

• Для однорідних многочленів степеня $k\,$ з $n\,$ змінними справедлива формула:

$\sum_{i=1}^{n}x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=kf(x_1,x_2,...,x_n)$

Див. також

• Квадратична форма
• Однорідна функція

Література

• Barbeau, Edward Joseph (2003). Polynomials. Springer. ISBN 0387406271.